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Menge in komplexer Zahlenebene skizzieren

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Komplexe Zahlenebene, mengen, Skizze einer Menge

NadiaShe aktiv_icon

20:20 Uhr, 08.11.2014

Hey Leute, ich soll folgende Mengen in einer komplexen Zahlenebene skizzieren

{x \in C ∣ ∣ R e (z) ∣ + 2 ∣ I m (z) ∣ < 3}

{x \in C ∣ ∣ z - i ∣ < ∣ z - 1 ∣}

{x \in C ∣ R e (z^{2}) > 1}

Wie gehe ich denn da am besten vor?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

20:24 Uhr, 08.11.2014

Meinst du

{z \in ℂ | |

Re(z)|

+ 2 \cdot

|Im(z)|

< 3}

usw.

NadiaShe aktiv_icon

20:27 Uhr, 08.11.2014

Ja genau! Tut mir leid, hab mich verschrieben. :-)

Respon

20:29 Uhr, 08.11.2014

Möglicher Weg:

z = x + i \cdot y

1. Beispiel
Re

(z) = x

; Im (z)

= y

| x | + 2 \cdot | y | < 3

usw.

NadiaShe aktiv_icon

20:38 Uhr, 08.11.2014

Dann würde ich doch 1 nach rechts auf der Re Achse und 2 nach oben auf der Im Achse und eine Gerade bekommen. Aber wie zeichne ich ein, dass es für alle Werte kleiner als drei gilt?

Respon

20:42 Uhr, 08.11.2014

Fallunterscheidung:

| x | + 2 \cdot | y | < 3

( für

x = 0

und

y = 0

ist die Ungleichung sicher erfüllt )

1) x > 0

und

y > 0

\Rightarrow x + 2 \cdot y < 3

2 \cdot y < - x + 3

y < - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

Die gesuchten Punkte liegen UNTERHALB der Geraden

y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

EDIT: ERSTER QUADRANT !
.....und die weiteren Fälle unterscheiden.

NadiaShe aktiv_icon

21:01 Uhr, 08.11.2014

Achsoo! Für die anderen Fälle habe ich:
1. x<0 und y<0

y > \frac{- x}{2} - \frac{3}{2}

2. x>0 und y<0

y > \frac{x}{2} - \frac{3}{2}

und 3. x<0 und y>0

y < \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

Also bekomme ich eine Raute und die Werte liegen dazwischen! Stimmts?

Respon

21:05 Uhr, 08.11.2014

Bingo !
Graph ungefähr so....

NadiaShe aktiv_icon

21:17 Uhr, 08.11.2014

Yeah vielen lieben Dank! :-) Kann mir vielleicht jemand noch bei den letzten beiden helfen?

Respon

21:20 Uhr, 08.11.2014

Ähnliches Schema:

z = x + i \cdot y

. .

. und die entsprechende Ungleichung auflösen.

NadiaShe aktiv_icon

23:10 Uhr, 08.11.2014

Also wenn ich für z x+yi einsetze, habe ich doch

∣ x + i y - i ∣ < ∣ x + i y - 1 ∣

wenn ich das umschreibe:

∣ x + i (y - 1) ∣ < ∣ x + i y - 1 ∣

die Betragstriche sollte ich doch mit der Formel der komplexen Konjugation wegbekommen

∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Wenn ich das auf beiden Seiten mache habe ich

\sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}} < \sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}}

aber irgendwie glaube ich, das kann nicht stimmen..

Respon

23:12 Uhr, 08.11.2014

Doch, passt

! (

bis auf RECHENFEHLER

!)

Quadrieren, vereinfachen.

Respon

23:14 Uhr, 08.11.2014

\sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}} < \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}

NadiaShe aktiv_icon

23:37 Uhr, 08.11.2014

ah danke, den Rechenfehler habe ich verändert, aber trotzdem habe ich Probleme mit dem Vereinfachen. :( Ich stecke fest bei

\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 y + 1} < \sqrt{x^{2} - 2 x + 1 + y^{2}}

x + y + \sqrt{- 2 y} + 1 < x^{2} + \sqrt{- 2 x} + 1 + y

x + y + i \sqrt{2 y} + 1 < x + i \sqrt{2 x} + 1 + y

Respon

23:42 Uhr, 08.11.2014

Was machst du denn da ???

\sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}} < \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}

| quadrieren

x^{2} + {(y - 1)}^{2} < {(x - 1)}^{2} + y^{2}

x^{2} + y^{2} - 2 \cdot y + 1 < x^{2} - 2 \cdot x + 1 + y^{2}

- 2 \cdot y < - 2 \cdot x

y > x

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