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Menge ist relativ offen, wenn...

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Tags: (relativ) abgeschlossene Mengen, offene Mengen

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19:16 Uhr, 29.04.2011

Hallo,

habe mal wieder eine Frage:

Sei

(X, d)

ein metrischer Raum und

Y \subset X

. Eine Teilmenge

M

von

Y

heißt offen in Y, wenn es eine in

X

offene Menge

U

gibt mit

M = U \cap Y

. Man spricht dann auch von relativ offen in

Y

.

Z.Z.: Eine Megne

M \subset Y

ist genau dann relativ offen in

Y

, wenn sie offen in

(Y, d_{Y})

ist.

Wie könnte ich sowas zeigen?

Vielen Dank,

lg,
philips

michaL aktiv_icon

20:43 Uhr, 29.04.2011

Hallo,

eigentlich ganz straight, indem du Offenheit in metrischen Räumen mit relativer Offenheit verknüpfst.

Also, in metrischen Räumen heißt ein Punkt

x

innerer Punkt der Menge

M

, wenn es eine (genügend kleine) offene Kugel

B_{ε} (x)

gibt, die noch ganz in

M

enthalten ist.
Eine Menge heißt offen, wenn sie nur innere Punkte hat.

Spalte den Beweis in zwei Richtungen auf (Äquivalenz in zwei Implikationen).
Nimm eine relativ offene Menge

M

her, zeige für ein beliebiges Element

x \in M

, dass es ein innerer Punkt von

M

ist. Dazu verwendest, dass

U \cap Y = M

gilt für eine in

X

offene Menge

U

. Insbesondere gilt also

x \in M \subseteq U

und

U

offen.

Versuch mal selbst, ein bisschen Jonglieren mit den verschiedenen Begriffen (innerer Punkt, offen in den verschiedenen Ausprägungen). Es soll ja eine Übung sein!

Mfg Michael

philips aktiv_icon

09:54 Uhr, 30.04.2011

Habe damit etwas Probleme... Ist

U \subset Y

dann ist ja ganz einfach, denn dann

M = U

offen, weil

U

offen ist. Liegt

U

nicht ganz in

Y

, kann ich dann so argumentireren:

Da

U

eine offene Menge ist und

Y

offen in

(Y, d_{Y})

muss auch der Druchschnitt zweier offener Mengen (in

(Y, d_{Y})

) wieder offen sein.

Mit der Argumentation mit

x \in M \subset U

habe so meine Probleme...

michaL aktiv_icon

10:47 Uhr, 30.04.2011

Hallo,

eigentlich läuft alles auf folgende Argumentation hinaus. Sei

x \in Y \subseteq X

, und für das gleiche relle

ε > 0

die Mengen

B_{ε} (x) := {z \in X ∣ d (x, z) < ε}

bzw.

C_{ε} (x) := {z \in Y ∣ d_{Y} (x, z) < ε}

die offenen Kugeln um

x

einmal in

X

und einmal in

Y

.
Und nun läuft es darauf hinaus, dass gilt:

B_{ε} (x) \cap Y = C_{ε} (x)

für alle

x \in Y

!

Das sollte sich einfach beweisen lassen (versuch mal, wenn Probleme auftauchen, frag nochmal).
Damit kannst du dann die inneren Punkte von

M = U \cap Y

als genau die identifizieren, die innere Punkte von

U

sind UND in

Y

liegen, was ja Kern der Aufgabe ist.

Alles klar?

Mfg Michael

philips aktiv_icon

11:16 Uhr, 30.04.2011

Tausend Dank erstmal.

Ich denke ich habe das soweit verstanden. Ich würde es so schreiben:

\Rightarrow

:
Sei

x \in Y \subset X

, und für das gleiche relle

ε > 0

die Mengen

B_{ε} (x) := {z \in X : d (x, z) < ε}

bzw.

C_{ε} (x) := {z \in Y : d_{Y} (x, z) < ε}

offene Kugeln jeweils um

x \in X

und

x \in Y

. Es gilt dann, dass

B_{ε} (x) \cap Y = C_{ε} (x)

für alle

x \in Y

.

Wegen der Offenheit hat jedes

x \in U

ein

ε

mit

B_{ε} (x) := {z \in X : d (x, z) < ε} \subset U

und damit auch alle

x \in M

ein

C_{ε} (x) := {z \in Y : d_{Y} (x, z) < ε} \subset M

, womit

M

offen in

(Y, d_{Y})

ist.

Würde ich bei der Rückrichtung über den gleichen Ansatz gehen?

Grüße,
philips

michaL aktiv_icon

11:26 Uhr, 30.04.2011

Hallo,

soweit ich das gelesen habe, sieht das gut aus. Und noch einmal ja für die Rückrichtung.

Mfg Michael

philips aktiv_icon

21:43 Uhr, 01.05.2011

Super. Vielen Dank für die Hilfe,

grüße,
philips

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