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Menge konvex?

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Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Konvexität, Menge

exdelierium aktiv_icon

22:52 Uhr, 19.12.2016

Sind die folgenden Mengen für die folgenden Funktionen konvex?

Mengen:

1) {x

€

[

0,unendlich)^2

| f (x 1, x 2) > 1}

2) {x

€

[

0,unendlich)^2

| f (x 1, x 2) \leq 1}

Funktionen:

a) y = 3 \cdot x 1 - 2 \cdot x 2

b) y = x 1 \cdot x 2^{2}

Wenn ich das richtig verstehe bedeutet der erste Teil der Mengendefinition, dass nur der obere rechte Quadrant des Koordinatensystems gilt.
Die Funktion (also die obere Abgrenzung der Menge) müsste demnach konkav sein, damit die Menge konvex ist. Richtig?

Aber den Teil mit

f () > 1

bzw.

\leq 1

verstehe ich nicht so richtig.

Und wie beweise ich, dass die Funktion konkav ist? Habe eine Ungleichung mit

x, y

und

t

gefunden, mit der man das wohl machen kann, weiß aber nicht, wie die anzuwenden ist. Vielleicht kann jemand zu einer Menge und einer Funktion den Weg beschreiben, dann bekomme ich es hoffentlich mit dem Rest selbst hin :-)

Danke
Marcus

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08:51 Uhr, 20.12.2016

Bin ein Stück weiter:

Mit der Hesse-Matrix und und der Eigenwertwertmethode konnte ich zeigen, dass Funktion

a)

negativ und positiv semidefinit ist (alle Eigenwerte=0), also gar keine Krümmung da ist. Das reicht für eine konvexe Menge doch aus.
Nun weiß ich nur nicht, ob das tatsächlich auf beide Mengen zutrifft, da ich diese Bedingung mit

f () > 1

und

\leq 1

nicht verstehe..

exdelierium aktiv_icon

15:22 Uhr, 20.12.2016

Da die zweite Funktion eine Quadrat-Funktion ist, ist diese ja offensichtlich konvex, wodurch die Menge darunter NICHT konvex ist.

Es hapert weiterhin an der Definition der Menge:

f (x 1, x 2) > 1

bzw.

\leq 1

. Irgendjemand der mir hier beim verstehen der Definition helfen kann?

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16:16 Uhr, 20.12.2016

Im 1. Fall hast Du

f (x_{1}, x_{2}) = 3 x_{1} - 2 x_{2}

. Die Bedingung

f (x_{1}, x_{2}) > 1

ist also

3 x_{1} - 2 x_{2} > 1

. Das ist die Halbebene unterhalb der Gerade

3 x_{1} - 2 x_{2} = 1

.
Also ist die gefragte Menge auf dem Bild grün gekennzeichnet (das ist so ein unendlicher Sektor). Natürlich ist diese Menge konvex.
Bild im Anhang.

exdelierium aktiv_icon

18:02 Uhr, 20.12.2016

Danke für die Antwort inklusive Zeichnung. Leider verstehe ich den Verlauf zum Ergebnis trotzdem nicht.

Wenn die Bedingung

> 1

ist, wie kommst du dann auf die Menge "unterhalb" der Geraden, und die ist Bedingung

\leq 1

dann "oberhalb" der selben Geraden (also ebenfalls konvex)?

Für die zweite Funktion würde dies bedeuten:

aus

x 1 \cdot x 2^{2} > 1

folgt die die Halbebene "unterhalb" der Geraden

x 1 \cdot x 2^{2} = 1,

welche umgeformt so aussieht:

x 2 = {(\frac{1}{x 1})}^{\frac{1}{2}}

also ähnlich einer normalen Isoquante. Der Bereich darunter wäre somit nicht konvex, der Bereich darüber wäre konvex. Richtig?

Nur eben noch die Frage, wie man von

f () > 1

darauf kommt, dass der Bereich UNTER der Linie gemeint ist.

Bonusfrage: Wie kommt es, dass hier auf einmal nur noch ein 2-Dimensionaler-Raum betrachtet wird? Es geht doch um eine 3-dimensionale Funktion.......

DrBoogie aktiv_icon

18:21 Uhr, 20.12.2016

"Der Bereich darunter wäre somit nicht konvex, der Bereich darüber wäre konvex. Richtig?"

Ja.

"Nur eben noch die Frage, wie man von f()>1 darauf kommt, dass der Bereich UNTER der Linie gemeint ist."

Man nimmt einfach einen Punkt unter der Linie und prüft. :-) Egal welchen, wenn es für einen stimmt, dann für alle.

"Bonusfrage: Wie kommt es, dass hier auf einmal nur noch ein 2-Dimensionaler-Raum betrachtet wird? Es geht doch um eine 3-dimensionale Funktion......."

Wer hat das gesagt? Bzw. was ist überhaupt "3-dimensionale Funktionen"? :-O

exdelierium aktiv_icon

19:11 Uhr, 20.12.2016

Danke für Antwort 1 und

2,

habe ich verstanden und hat funktioniert ;-)

Allerdings würde selbiges dazu führen, dass das

> 1

für die zweite Funktion suggeriert, dass hier der Bereich OBERHALB der Linie gemeint ist (da

x 1 \cdot x 2^{2} > 1

umgeformt zu

x 2 > {(\frac{1}{x 1})}^{\frac{1}{2}}

wird), oder bin ich jetzt wieder auf dem Holzweg??

Zur Bonusfrage:
Die Funktion ist doch mit zwei

x

Werten (also zwei Veränderlichen), und bewegt sich somit durch einen 3-dimensionalen Raum

\to x 1, x 2

und

y

Oder fällt das

y

einfach dadurch weg, dass hier

f > 1

steht (und die 1 das

y

ersetzt)?

DrBoogie aktiv_icon

19:16 Uhr, 20.12.2016

"und bewegt sich somit durch einen 3-dimensionalen Raum →x1,x2 und y"

Der Graph der Funktion bewegt sich im 3-dimensionalen Raum, aber das tut nichts zur Sache.

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