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Menge überabzählbar

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Funktionen

Tags: Funktion, mengen, natürliche Zahlen, überabzählbar

FlorianMetz aktiv_icon

11:49 Uhr, 08.12.2022

Hallo zusammen,

ich soll zeigen, dass die Menge

{f : ℕ \to ℕ}

aller Abbildungen von

ℕ

nach

ℕ

überabzählbar ist.

Wir haben bereits in der Vorlesung gezeigt, dass

ℝ

überabzählbar ist...

Angenommen

ℕ

ist abzählbar unendlich

\Rightarrow \exists f : ℕ \to ℕ

surjektiv,

d . h

ℕ =

{

x_1,x_2,...|mit

x_{n} := f (n)}

. Die

x_{n}

haben Dezimalentwicklung

x_{n} = a_{n,0}, a_{n,1}, . .

. mit

a_{n,0} \in ℤ

und

a_{n, k} \in {1,2,3, ...,9} (k \in ℕ)

. Kann ich so anfangen oder ist das nicht zielführend?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

13:45 Uhr, 08.12.2022

Hallo,

es reicht, wenn du eine surjektive Abbildung

φ : ℕ^{ℕ} \to [0; 1]

angibst, um zu beweisen, dass die Kardinalität von

ℕ^{ℕ}

mindestens so groß ist wie die von

[0; 1]

.

Der Ansatz dafür ist aus meiner Sicht geeignet.

Dass

(0; 1)

vermöge

x \mapsto \arctan (x / 2) + 0, 5

gleichmächtig zu

ℝ

ist, sollte bekannt sein. (Oder?)

Mfg Michael

FlorianMetz aktiv_icon

12:26 Uhr, 09.12.2022

Arkustangens hatten wir in der Vorlesung tatsächlich nicht. Aber ich versuche mich mal an der surjektiven Abbildung.

HAL9000

12:49 Uhr, 09.12.2022

Mit etwas Anpassung der Abbildung benötigt man eine solche zusätzliche Transformation gar nicht: Ausgehend von

ℕ = {1, 2, \dots}

(d.h. ohne Null) passt beispielsweise

φ (a) = {(- 1)}^{a_{1}} \cdot [a_{2} - 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k + 2} - 1) 2^{- k}]

Ist natürlich eine gigantische "Verschwendung", weil bei allen

a_{k}

außer

a_{2}

nur die Werte 1 und 2 benötigt werden, um die Surjektivität herzustellen - aber was soll's. :-)

michaL aktiv_icon

13:27 Uhr, 09.12.2022

Hallo,

nun, dass

\arctan

stetig und streng monoton ist, woraus letztlich folgt, dass es bijektiv zwischen

ℝ

und

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

ist, dafür braucht man ja vielleicht nicht unbedingt die Vorlesung, oder?

Für die Surjektion zwischen

ℕ^{ℕ}

und

[0; 1]

hattest du ja schon die Idee der Dezimalzifferndarstellung entwickelt.
Dazu bildet man

f \in ℕ^{ℕ}

her und bildet

f

ab auf

\sum_{k = 0}^{\infty} f (k) \cdot 1 0^{- k}

.

Klar, ein paar Dinge wird man prüfen müssen: namentlich Wohldefiniertheit und Surjektivität.

Mfg Michael

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