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Menge überabzählbar

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Tags: Funktion, mengen, natürliche Zahlen, überabzählbar

 
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FlorianMetz

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11:49 Uhr, 08.12.2022

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Hallo zusammen,

ich soll zeigen, dass die Menge {f:} aller Abbildungen von nach überabzählbar ist.

Wir haben bereits in der Vorlesung gezeigt, dass überabzählbar ist...


Angenommen ist abzählbar unendlich f: surjektiv, d.h. = {x_1,x_2,...|mit xn:=f(n)}. Die xn haben Dezimalentwicklung xn=an,0,an,1,... mit an,0 und an,k{1,2,3,...,9}(k). Kann ich so anfangen oder ist das nicht zielführend?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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michaL

michaL aktiv_icon

13:45 Uhr, 08.12.2022

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Hallo,

es reicht, wenn du eine surjektive Abbildung φ:[0;1] angibst, um zu beweisen, dass die Kardinalität von mindestens so groß ist wie die von [0;1].

Der Ansatz dafür ist aus meiner Sicht geeignet.

Dass (0;1) vermöge xarctan(x/2)+0,5 gleichmächtig zu ist, sollte bekannt sein. (Oder?)

Mfg Michael
FlorianMetz

FlorianMetz aktiv_icon

12:26 Uhr, 09.12.2022

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Arkustangens hatten wir in der Vorlesung tatsächlich nicht. Aber ich versuche mich mal an der surjektiven Abbildung.
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

12:49 Uhr, 09.12.2022

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Mit etwas Anpassung der Abbildung benötigt man eine solche zusätzliche Transformation gar nicht: Ausgehend von ={1,2,} (d.h. ohne Null) passt beispielsweise

φ(a)=(-1)a1[a2-1+k=1(ak+2-1)2-k]

Ist natürlich eine gigantische "Verschwendung", weil bei allen ak außer a2 nur die Werte 1 und 2 benötigt werden, um die Surjektivität herzustellen - aber was soll's. :-)

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michaL

michaL aktiv_icon

13:27 Uhr, 09.12.2022

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Hallo,

nun, dass arctan stetig und streng monoton ist, woraus letztlich folgt, dass es bijektiv zwischen und (-π2;π2) ist, dafür braucht man ja vielleicht nicht unbedingt die Vorlesung, oder?

Für die Surjektion zwischen und [0;1] hattest du ja schon die Idee der Dezimalzifferndarstellung entwickelt.
Dazu bildet man f her und bildet f ab auf k=0f(k)10-k.

Klar, ein paar Dinge wird man prüfen müssen: namentlich Wohldefiniertheit und Surjektivität.

Mfg Michael
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