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Mengen Beweise

Schüler Gymnasium,

Tags: Beweise der Aussagen, Mengenlehre

anonymous

11:28 Uhr, 22.10.2015

Halli hallo alle zusammen,

ich habe mehrere Aussagen, die bewiesen werden sollen;
damit es aber nicht unübersichtlich wird, teile ich sie
auf mehrere Posts auf.

Es gilt:

P \subset M

(a)

P \cup (M \ P) = M

(b)

P \cap (M \ P) = \emptyset

zu (a) und (b) habe ich mir Folgendes überlegt:

(a)

P \cup {x \in M ∣ x \notin P}

= M
(b)

P \cap {x \in M ∣ x \notin P}

= M

Erläuterung: Einsetzen der Definition für

M \ P

Aber ich weiß nicht mehr weiter.
Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Ginso aktiv_icon

12:38 Uhr, 22.10.2015

Die zu zeigende aussage kann man ja auch so formulieren:

x \in (P \cup (M \ P)) \Leftrightarrow x \in M

Versuch doch mal die linke Seite zu äquivalenten Aussagen umzuformulieren, so wie bei deinem anderen Post. Ersetze erst das

\cup

und mach eine Verknüpfung von 2 Aussagen daraus und dann das gleich mit \

tommy40629 aktiv_icon

12:40 Uhr, 22.10.2015

Für die a) siehe Foto.

Am Ende benutzt man, dass P Teilmenge von M ist.

Die Rückrichtung im Teil a) ist nicht so einfach.

Man startet mit x in M und dann zeigt man, dass x in P ist ODER,
dass x in M\P ist.

Das x in P ist bzw. nicht in P ist, genau das ist hier die Herausforderung.

anonymous

14:27 Uhr, 22.10.2015

Tag Ginso und tommy,

1.) Wäre das Gleichheitszeichen hier auch okay?

x \in (P \cup (M \ P)) = x \in M

Ja, oder?

2.) tommy hat geschrieben, dass eine Tautologie vorliege, was ja auch richtig ist.
Das heißt ja, dass die Aussage wahr ist. Warum kann ich sie dann aber weglassen?

Ginso aktiv_icon

14:37 Uhr, 22.10.2015

Nein, da die beiden Aussagen nicht gleich sind sondern "nur" äquivalent.

anonymous

14:57 Uhr, 22.10.2015

Okay,

dann lasse ich das Gleichheitszeichen weg. ;-)

Im Anhang habe ich meine bisherige Lösung eingescannt.
Bemerkung: Das mit den Gleichheitszeichen habe ich nachträglich geändert;
dort sind jetzt

\Leftrightarrow

.

Frage:

(x \in P) \lor (x \notin P)

Es gilt ja: ,,Tertium non datur"; warum kann ich das jetzt weglassen?

Ginso aktiv_icon

20:39 Uhr, 22.10.2015

Genau die Aussage

(x \in P) \lor (x \notin P)

ist immer war und da sie teil einer

\land

-Verknüpfung ist, kann man sie weglassen und erhält eine äquivalente Aussage.
Zu dem linken Teil, nach Definition von

\cup

ist

(x \in P) \lor (x \in M)

äquivalent zu

x \in M \cup P

Da aber

P \subset M

, ist

M \cup P = M

anonymous

20:56 Uhr, 22.10.2015

Also ich bin jetzt an folgender Stelle:

x \in M \cup P \Leftrightarrow x \in M

Schreibe ich jetzt Folgendes:

M \cup P = M

Also von

\Leftrightarrow

=

, weil das

x \in . . .

weggelassen wird?

Ginso aktiv_icon

21:06 Uhr, 22.10.2015

Also kannst hier bereits sagen:

Diese Äquivalenz gilt, da aus

P \subset M

folgt, dass

P \cup M = M

.

Denn da diese beide Mengen wirklich gleich sind kannst du

P \cup M

durch

M

ersetzen und dann ist die äquivalenz offensichtlich

anonymous

21:19 Uhr, 22.10.2015

(Fast) alles klar.

Habe ich das richtig gemacht?

x \in M \cup P \Leftrightarrow x \in M

M \cup P = M

Also habe ich es FORMAL richtig aufgeschrieben?

Ich weiß jetzt, warum

M \cup P = M

; danke! ;-)

Ginso aktiv_icon

21:27 Uhr, 22.10.2015

naja ein bisschen Begründung gehört da schon noch dazu. Zum beispiel

x \in M \cup P \Leftrightarrow x \in M

Diese Äquivalenz gilt offensichtlich da aus

P \subset M

folgt, dass

M \cup P = M

So würde ich es schreiben

anonymous

12:40 Uhr, 23.10.2015

Okay, vielen Dank, Ginso!!!! :-)

Für (b) eröffne ich einen neuen Thread, sonst wird es zu unübersichtlich.

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