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Mengen, Kompakt, Teilüberdeckung

Universität / Fachhochschule

Tags: kompakt, mengen, offene Teilüberdeckungen

simon89 aktiv_icon

16:10 Uhr, 10.05.2010

Hallo, habe folgendes Problem ich soll zeigen, dass die Menge Nicht kompakt ist, indem ich eine offene Überdeckung finde, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt

die Menge sieht folgendermaßen aus

$M_{1} = {(x, y) \in R^{2} : | x y | \leq 1}$

habe mir das auch mal aufgezeichnet, und die haut ja auf der x und y Achse jeweils ab oder?

Weiß leider gar nicht welche Menge M2 ich nun finden soll, die unendlich ist, und diese Menge überdeckt so sollte M2 doch eigentlich aussehen oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

16:14 Uhr, 10.05.2010

Wie wäre es, wenn du

U_{n} = {(x, y) | n - 1 < x < n + 1}

für

n \in ℤ

?
Eine endliche Teilüberdeckung hätte ein maximales

n,

so dass

U_{n}

in der Teilüberdeckung liegt.
Dann wird

(n + 1,0)

nicht üebrdeckt.

simon89 aktiv_icon

16:19 Uhr, 10.05.2010

Hmm so verstehe ich das nicht also wieso muss n $\in$ Z sein? und weshalb darf es die 0 nicht beinhalten?

hagman aktiv_icon

16:24 Uhr, 10.05.2010

Satt

n \in ℤ

ginge natürlcih auch

n \in ℝ

Gäbe es in der endlichen Teilüberdeckung ein

m

mit

(n + 1,0) \in U_{m},

so müsste

m = n + 1

gelten im Widerspruch zur Wahl von

n

als maximaler verwendeter Index.
Da andererseits

| (n + 1) \cdot 0 | \leq 1,

ist

(n + 1,0) \in M_{1},

hätte also überdeckt werden sollen

simon89 aktiv_icon

16:37 Uhr, 10.05.2010

hmm vllt stelle ich mir die Menge $U_{n}$ auch gerade falsch vor also die Menge M1 bestand doch aus zwei vektoren aber Un überdeckt doch M1 nicht oder? oder muss die offene Überdeckung gar nicht M1 ganz überdecken? muss Un nur ein Teil von M1 sein?

simon89 aktiv_icon

16:42 Uhr, 10.05.2010

also wäre das völlig beliebig und die Menge

$U_{x} : = {(x, y) : n - 1 < y < n + 1)}$ für n $\in Z$

hagman aktiv_icon

22:05 Uhr, 10.05.2010

So wie ich die AUfgabe lese, ist

M_{1}

gegeben als Menge der Punkte zwischen oder auf den zwei Hyperbeln

x \mapsto \frac{1}{x}

und

x \mapsto - \frac{1}{x}

.
Die

U_{n},

die ich definierte, sind einfach offene vertikale Streifen, mit denen ich die Ebene quasi überlappend tapeziere.

Was ich hierbei ausnutze, ist, dass die Menge in horizontaler Rechnung unbeschränkt ist (ok, vertikal auch).
Du kannst auch

U_{n} = {(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < n^{2}}

wählen,

n \in ℕ

. Das sind offene Kreisscheiben um

O

vom Radius

n

. Wenn man endlich viele von denen vereinigt, erhält man einfach den größten "Teilnehmer" an dieser Vereinigung. Genau deshalb ist jede kompakte Teilmenge von

ℝ^{2}

beschränkt.

simon89 aktiv_icon

12:58 Uhr, 11.05.2010

Danke gerafft

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