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Mengen als Vereinigung von Intervallen

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Sonstiges

Tags: Menge, mengen, Mengenlehre, Sonstig

physik93 aktiv_icon

18:15 Uhr, 18.10.2015

hallo liebes Team,

ich habe hier folgende Aufgabe (Bild1) und bin mir etwas unsicher bezüglich meiner Mathematischen Form.

also gegeben habe ich 4 Teilmengen

(A, B, C

und

D)

A = [- 3,1]

B = {1,3,5}

C = (5, \infty)

D = (- \infty,1]

a .)

habe ich mir folgendes Überlegt:

(A \ B) = [- 3,1)

und

(C \cup D) = (- \infty, \infty)

also:

(A \ B) \cap (C \cup D) = [- 3,1) \cap (- \infty, \infty)

b .) (D \ A) \cup (B \ A) = (- \infty, - 3) \cup {3,5}

bei

c

.)und

d .)

ist es etwas komplizierter, hier dachte ich mir erstmal alles getrennt zu betrachten:

A \cap B = 1 = A \cup B

B \cap C = 5 = B \cup C

C \cap D = \emptyset = C \cup D

1.Frage: sind die Ergebnisse richtig?
2.Frage wie formuliere ich es mathematisch richtig?

danke im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Roman-22

18:28 Uhr, 18.10.2015

a)

Das ist nicht richtig. Überlege, was

C \cup D

wirklich ist. Außerdem gehts noch weiter - der letzte Durchschnitt muss dann noch vereinfacht werden.

R

physik93 aktiv_icon

18:36 Uhr, 18.10.2015

eine beliebige Teilmenge von

ℝ

durchschnitten mit ganz

ℝ

ergibt vermutlicherweise als Durchschnitt die Teilmenge

ℝ,

stimmt es ?
Moment ich überlege wie ich es noch weiter kürzen kann..

Roman-22

18:42 Uhr, 18.10.2015

Diese deine Antwort ist richtig, aber du hast meine Antwort zu früh gelesen
Ich hab Unfug geschrieben, denn

C \cup D \neq ℝ

.
Wurde von mir mittlerweile editiert.

ledum aktiv_icon

18:44 Uhr, 18.10.2015

Hallo
du hass

C \cup D

noch nicht korrigiert, trotz der Antwort von Roman, du kannst die Mengen ja aufzeichnen zur Kontrolle!!
Gruß ledum

physik93 aktiv_icon

18:47 Uhr, 18.10.2015

ich überlege gerade ob

C \cup D

die Lehremenge ist oder nicht? a ich theoretisch zwei verschiede Mengen haben die sich nicht mal wirklich vereinen können..D geht von

- \infty

bis 1 und

C

geht von 5 bis

\infty

dazwischen bleibt

2,3,4

frei die können sich nicht Vereinigen also Leeremenge

UPDATE:
obwohl ...zur Vereinigung gehört ein Element entweder zum einen ODER zum anderen
Bei Durchschnitt muss das Element zu Beiden Mengen gehören, wenns nicht der fall ist, dann ist es die Leeremenge

Roman-22

18:51 Uhr, 18.10.2015

Nein! Die Vereinigung zweier Mengen ist nur dann leer, wenn bereits jede der beiden Mengen die leere Menge ist.
Beim Vereinigen wird es nie weniger!

Du verwechselst offenbar Vereinigung mit Durchschnitt.

Aber deine Antwort offenbart auch, dass bisher etwas Wichtiges nicht besprochen wurde.
Ich ging bisher davon aus, dass wir es mit Teilmengen der reellen Zahlen zu tun hätten. Leider hast du in deiner Aufgabenbeschreibung vergessen, anzugeben, in welcher Menge wir uns bewegen sollen

- ℝ

oder

ℤ

?
Die Mengen

A, B, C

und

D

sind Teilmengen wovon?

R

EDIT: Mit uns beiden sind offenbar zwei zusammengekommen, die ihre Beiträge immer wieder gern nachträglich editieren. Mal sehen, ob wir das entstehende Chaos auch beherrschen ;-)
Jedenfalls ist das Problem Durchschnitt vs Vereinigung geklärt.
Wie sieht es mit der Grundmenge aus?

physik93 aktiv_icon

18:56 Uhr, 18.10.2015

oki,, aber ich habe eine lücke von einigen "Elementen" damit ich

C \cup D

so schreiben kann:

(- \infty, \infty)

muss ich

2,3,4,5

mit einem Komplement schreiben also ist

C \cup D = (- \infty, \infty) \ {2,3,4,5}

kann ich es so machen?

physik93 aktiv_icon

18:57 Uhr, 18.10.2015

ja das sind Teil Mengen von

ℝ,

steht in der Aufgabenstellung im Bild was ich hochgeladen hab :-D)

Roman-22

18:58 Uhr, 18.10.2015

Ja kannst du. Du kannst aber auch einfach die Vereinigung stehen lassen.

Wichtig wäre aber doch, zu wissen, ob wir es mit Teilmengen von

ℤ

oder von

ℝ

zu tun haben.

EDIT: Und wieder war ich zu schnell. Dann ist deine Schreibweise mit der Differenz falsch.
Ich bevorzuge den hier eingegebenen Text und seh mir ungern Bildchen an, daher hab ich das nicht gesehen.

physik93 aktiv_icon

19:02 Uhr, 18.10.2015

oki , also wir haben es mit Teilmengen aus dem

ℝ

zu tun aber wie meinst du es mit der Verneinung schreiben? also so hier?:

C \cup D = (- \infty, \infty) \ {2,3,4,5} = (5, \infty) \cup (- \infty,1]

Edit:kein Problem ;-)
was meinst du mit Der Differenz?

ledum aktiv_icon

19:02 Uhr, 18.10.2015

Hallo

D

ist doch ein Intervall! zeichne doch mal auf einer reellen Geraden

C

und

D

ein und dann beschreibe welchen Teil der Geraden die 2 vereinigt, also insgesamt angeben.
was du geschrieben hast ist falsch.
Gruß ledum

physik93 aktiv_icon

19:09 Uhr, 18.10.2015

im Bildchen habe ich es gezeichnet und was beide mengen Vereinigt sind die Elemente bzw die Menge

{2,3,4,5}

Roman-22

19:11 Uhr, 18.10.2015

>

aber wie meinst du es mit der Verneinung schreiben?
Nicht "Verneinung" - "Vereinigung"

>

C∪D=(-∞,∞)\

{

2,3,4,5}
Genau das ist eben falsch, wenn es sich um Intervalle aus

ℝ

handelt.
Du nimmst 2 und 3 raus, aber nicht

2,2

oder

2.7654321

.

Du könntest schreiben

C \cup D = ℝ \ (1; 5]

und ich meinte, dass du genau so gut auch gleich

(- \infty; 1] \cup (5; + \infty)

stehen lassen könntest.
Es ist ja nur ein Zwischenergebnis, das nun noch mit

[- 3; 1)

geschnitten werden muss.
Für das Endergebnis haben alle unsere Bemühungen,

C \cup D

richtig anzugeben zwar keinen Einfluss, auf dein Verständnis aber hoffentlich schon ;-)

R

physik93 aktiv_icon

19:15 Uhr, 18.10.2015

tatsächlich..ok ich lad gleich das "richtge" Ergebniss hoch, ich muss kurz noch überlegen wie es vollständig richtig ist, danke für die bisherige Hilfe ;-)

also: nach dem Distributivgesetz:

[- 3,1) \cap ((5, \infty) u (- \infty,1] = ([- 3,1) \cap (5, \infty)) \cup ([- 3,1) \cap (- \infty,1])

ich werde es jtz nochmal lösen und mein Ergebnis hochladen

Zwischenergebnis:

ℝ \ [1,5] \cup (- \infty,1]

Roman-22

19:24 Uhr, 18.10.2015

Das wird ja immer komplizierter. Benötigst du da wirklich ein Distributivgesetz?
Kannst du dir die Zahlenmengen nicht auf der Zahlengeraden vorstellen und einfach sehen, wo die Gemeinsamkeiten sind?

Wenn dein Zwischenergebnis das von

a)

sein soll, dann ist es falsch!

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