Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Mengen und Gruppen

Mengen und Gruppen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: bijektiv, Funktion, Gruppe, kommutative Gruppe, Menge

Lunaticgirl aktiv_icon

21:57 Uhr, 14.11.2019

Hey Leute, ich suche jemanden, der sich bereitstellt mit mir die Aufgaben zu bearbeiten, wäre echt lieb, wenn sich jemand melden würde. LG

1. Gegeben seien die Menge

G : = {x

∈

R, | x | < 1}

und die Verknüpfung ∗ , die für

x, y

∈

G

durch

x

∗

y : = \frac{x + y}{1 + x \cdot y}

definiert ist.

a)

Untersuchen Sie, ob die algebraische Struktur (G,∗) eine kommutative Gruppe ist.

2. Sei

V

eine nicht-leere Menge und Bij(V)

: = {f : V

→

V, f

ist bijektiv

}

a)

Zeigen Sie, dass (Bij(V),◦) eine Gruppe ist. Hierbei bezeichnet ◦ die übliche Komposition von Funktionen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

JaBaa aktiv_icon

23:39 Uhr, 14.11.2019

Hi wir können mal die 2 zusammen versuchen. Die 1 bin ich mir zu unsicher obwohl ich weiß was man zeigen muss lasse ich da lieber die Profis ran, weil mich da auch paar Sachen verwirren :-). Also zu 2

Irgendwo müsste bei dir stehen wie die Komposition definiert ist. Und du weißt auch was du bei Gruppen zeigen musst ? Ich würde immer die Ansätze welche du hast dazu schreiben. Damit man weiß auf welchem Wissensstand du bist.

JaBaa aktiv_icon

23:45 Uhr, 14.11.2019

Schade bist nicht mehr da. Morgen bin ich den ganzen tag in der Uni, wird dir noch jemand anderes helfen dann ;-).

ermanus aktiv_icon

10:35 Uhr, 15.11.2019

Hallo,
zu 1)
Das Erste, was du zeigen musst, ist die Abgeschlossenheit von

G

bzgl. der Verknüpfung

*

, also

∣ x ∣, ∣ y ∣ < 1 \Rightarrow ∣ x * y ∣ < 1

.
Fang mal damit an ...
Gruß ermanus

Lunaticgirl aktiv_icon

15:12 Uhr, 15.11.2019

1)

Erstmal die Regeln:

Abgeschlossenheit : Für alle Gruppenelemente a und

b

gilt:

(a

∗

b)

∈ G

Assoziativität : Für alle Gruppenelemente

a, b

und

c

gilt:( a ∗

b)

∗

c = a

∗

(b

∗

c)

.

Neutrales Element: Es gibt ein neutrales Element

e

∈

G,

mit dem für alle Gruppenelemente a gilt

: a

∗

e = e

∗

a =

a

.

Inverses Element: Zu jedem Gruppenelement a existiert

e

in Element a^‐1 ∈

G

mit a ∗ a^−1 = a^−1 ∗

a = e

.

Kommutativität: Für alle Gruppenelemente a und

b

gilt a ∗

b = b

∗

a

Lunaticgirl aktiv_icon

15:14 Uhr, 15.11.2019

Bei

1)

steht als Hinweis, dass ich die Abgeschlossenheit nicht nachweisen soll, da sie schon gegeben wurde.

also muss ich schauen, ob die Gleichung assoziativ ist.

Lunaticgirl aktiv_icon

15:27 Uhr, 15.11.2019

2)

Die symmetrische Gruppe Bij(V) enthält die Identität idV

: V

→

V,

definiert durch idV (x)

= x

f̈ür alle

x

∈ V. Die symmetrische Gruppe Bij von

V

erfüllt die Gruppenaxiome.

(G 1)

Es gilt das Assoziativgesetz

h

◦(

g

◦

f) = (h

◦

g)

◦

f

f̈ür alle

f, g, h

∈ Bij(V).

(G 2)

Die Identität idV ist das neutrale Element in Bij(V)

, d . h

. es gilt

f

◦ idV = idV ◦

f = f

für alle

f

∈ Bij(V).

(G 3)

Jede Funktion

f

∈ Bij(V) besitzt ein Inverses f^−1 ∈ Bij(V) mit

f

◦ f^−1 = f^−1 ◦

f =

idV für alle

f

∈ Bij(V)

Was sagst du dazu?

ermanus aktiv_icon

12:08 Uhr, 16.11.2019

Hallo,
zur Assoziativität von 1.:
Hast du das denn schon gerechnet?

(a * b) * c = \frac{a + b}{1 + a b} * c = \frac{\frac{a + b}{1 + a b} + c}{1 + \frac{a + b}{1 + a b} \cdot c} = \frac{a + b + c (1 + a b)}{1 + a b + (a + b) c} = . . .

und ebenso

a * (b * c) = . . .

Wie ist hier dein neutrales Element und wie sieht es mit dem Inversen aus?
Hast du das schon erforscht ? ;-)

zur Assoziativität von 2.:
Hast du die nachgewiesen oder hast du nur die Bedingung zitiert?
Du kannst z.B. verwenden, dass die Hintereinanderausführung beliebiger
Abbildungen immer assoziativ ist.

Gruß ermanus

Lunaticgirl aktiv_icon

17:09 Uhr, 16.11.2019

Hallo,

zur Abgeschlossenheit:

\frac{x + y}{1 + x y} < \frac{1 + 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1

⇒ abgeschlossen

zur Assoziativität:

(x

∗

y)

∗

z = \frac{(x + y) + z}{1 + (x y) z} = \frac{x + (y + z)}{1 + x (y z)} = x

∗

(y

∗

z)

⇒ assoziativ

zum neutralen Element:

x

∗

0 = \frac{x + 0}{1 + x 0} = \frac{x}{1} = x

sowie 0 ∗

x = \frac{0 + x}{1 + 0 x} = \frac{x}{1} = x

⇒ die Struktur besitzt ein Nullelement. Das Einselement ist zwar möglich, aber aufgrund der Definition von

G

nicht zugelassen.

Zur Kommutativtät:

x

∗

y = \frac{x + y}{1 + x y} = \frac{y + x}{1 + y x} = y

∗

x

⇒ Die Struktur ist kommutativ, da die Addition und Multiplikation kommutativ ist.

zum Inversen Element:

x

∗ x^−1

= x +

(−x) : 1+x(−x)

= 0 :

1−x^2

= 0

sowie x^−1 ∗

x =

−x

+ x :

1+(−x)

x = 0 :

1−x^2

= 0

⇒ Das inverse Element x^−1 ist gegeben durch x^−1 = −x
⇒ die Struktur ist eine abelsche Gruppe

Was sagst du dazu?

ermanus aktiv_icon

21:58 Uhr, 16.11.2019

Hallo,
dein Abgeschlossenheitsbeweis funktioniert nicht; denn wenn du aowohl
den Zähler als auch den Nenner vergrößerst, kannst du eigentlich garnichts
schließen.
Du hattest ja aber gesagt, dass die Abgeschlossenheit irgendwo
vorher bereits nachgewiesen worden sei ?!

Der Rest ist so OK. Dennoch möchte ich ein paar "stilistische"
Anmerkungen machen:

ich würde unmittelbar nach der Assoziativität die Kommutativität
nachweise, damit man sie hernach beim neutralen Element und beim Inversen
benutzen kann.

Bei dem neutralen Element brauchst du dann nur die erste Gleichung
herzuleiten.

Dein Text zum Inversen ist zwar richtig gemeint, aber für den Leser
unverständlich. Vielleicht eher so:

Sei

x \in G

beliebig, dann gilt

x * (- x) = \frac{x + (- x)}{1 - x^{2}} = 0

,
also ist das Inverse von

x

das Element

- x

.

Gruß ermanus

Lunaticgirl aktiv_icon

22:50 Uhr, 16.11.2019

Hallo, vielen Dank!

bei

1)

Ja, da stand in der Aufgabe noch als Hinweis: Laut Aufgabenstellung ist das Tupel bereits eine algebraische Struktur. Die Abgeschlossenheit der Menge

G

bezüglich der Verknüpfung∗ muss also nicht mehr nachgewiesen werden.

was sagst du zu meinem Lösungsweg von

2)

?

LG

Lunaticgirl aktiv_icon

13:17 Uhr, 17.11.2019

Hey, ich hab noch eine Frage bzgl. der 1. Aufgabe:

Im Anhang sieht man den Nachweis, dass es assoziativ ist.

ist dieser Nachweis richtig?
oder ist mein Nachweis besser beschrieben?

LG

ermanus aktiv_icon

13:23 Uhr, 17.11.2019

Hallo,
das hast du sehr gut gemacht :-)
Gruß ermanus

Lunaticgirl aktiv_icon

13:27 Uhr, 17.11.2019

Hallo ermanus,

was meinst du genau?
das im Anhang? oder

2)

Aufgabe

LG

ermanus aktiv_icon

13:38 Uhr, 17.11.2019

Ich meinte deinen Anhang.

Was die Aufgabe 2) anbetrifft, habe ich ja zu der Assoziativität
eine allgemeine Aussage gemacht.
Ich möchte das noch etwas genauer ausführen:

Seien

f, g, h : V \to V

Abbildungen.
Dann ist

(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)

; denn
für alle

x \in V

gilt:

((f \circ g) \circ h) (x) = (f \circ g) (h (x)) = f (g (h (x))) = f ((g \circ h) (x)) = (f \circ (g \circ h)) (x)

Die Sache mit dem neutralen Element hast du gut begründet,
beim Inversen solltest du anmerken, dass du mit

f^{- 1}

die Umkehrabbildung meinst.

Gruß ermanus

Lunaticgirl aktiv_icon

13:41 Uhr, 17.11.2019

Vielen Dank!
Ich wünsche dir noch einen schönen Tag.
LG

1486671

1486470

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?