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Mengenfamilie disjunkt/paarweise disjunkt

Universität / Fachhochschule

Tags: disjunkte Vereinigung, mengen, Mengenalgebra, Mengenlehre

Domme1910 aktiv_icon

14:19 Uhr, 26.01.2017

Hallo Leute,

Habe folgendes Problem:

I $= {a, b, c, d, e}$
${(M_{i})}_{i \in I}$ definiert durch $M_{i} = {x \in P (I) \ {{}} | i \notin x}$

jetzt soll gezeigt werden, dass ${(M_{i})}_{i \in I}$ disjunkt, nicht aber paarweise disjunkt ist.

paarweise disjunkt ist relativ leicht zu wiederlegen, da

$M_{a} = {{b}, {c}, {d}, ...}$
$M_{b} = {{a}, {c}, {d}, ...}$

${c} \in M_{a} \cap M_{b} \neq 0$

nun habe ich aber ein problem disjunkt zu finden und disjunkt zu beweisen.

Könnt ihr mir da helfen?

Ich sag schonmal danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Bummerang

16:36 Uhr, 26.01.2017

Hallo,

Alle $M_{i} \subseteq P (I),$ das geht aus der Definition der $M_{i}$ hervor, da alle Elemente in $M_{i}$ ist $P (I)$ stammen. Da alle $M_{i} \subseteq P (I)$ sind, ist der $M_{i}$ auch $⋂_{i \in I} M_{i} \subseteq P (I)$ .

Angenommen, $⋂_{i \in I} M_{i} \neq \emptyset,$ dann $\exists x \neq \emptyset,$ für das für alle $i \in I$ gilt: $x \in M_{i}$ . Dann gilt aber gemäß der Definition auch für alle $i \in I : i \notin x,$ mit anderen Worten $x \cap I = \emptyset$

Dann gäbe es in $P (I)$ eine Teilmenge, für die gilt: $x \subseteq P (I)$ und $x \cap I = \emptyset$ . Diese Bedingung erfüllt nur eine Menge: $x = \emptyset,$ das ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dass $x \neq \emptyset$ ist.

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