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Mengenfilter

Universität / Fachhochschule

Tags: Filter, Konvergenz

Gast17 aktiv_icon

00:13 Uhr, 12.11.2016

Guten Abend zusammen.
Da ich leider zu dem Thema nicht wirklich einen Beitrag im Forum gefunden habe versuche ich es mal mit einem neuen Thread. Und zwar geht es hier nicht wirklich um eine konkrete Aufgabe, sondern viel mehr um das grundsätzliche Fehlen des Verständnisses für ein Konzept.

Der Prof hat in der heutigen Vorlesung Mengenfilter eingeführt und dann eine Verbindung zwischen diesen und dem eigentlich Thema das wir gerade Behandeln hergestellt (Grenzwerte von Funktionen). Leider habe ich diese Verbindung nicht wirklich verstanden.
Wir haben in einem ersten Schritt den Grenzwert einer Funktion wie folgt definiert:
Für eine Funktion

f : D \to ℝ

ist

A = lim_{x \to x_{0}} f (x)

falls:

\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x \in D \cap {x_{0} - δ, x_{0} + δ} \ {x_{0}} : ∣ f (x) - A ∣ < ε

Diese Def. fand ich soweit verständlich. Nun wurde aber noch zusätzlich gesagt, dass
die Funktion

f

auch gegen

A

konvergiert, falls folgendes erfüllt ist:
Sei

X

eine Menge und

ℱ

ein Filter auf

X

. Sei Funktion

f : D \to ℝ

eine Funktion. Wir sagen Funktion

f

konvergiert entlang

ℱ

gegen

lim_{ℱ} f (x) = A \in ℝ

falls:
Bem: wie es aussieht wird das \mathcal{U} nicht angezeigt. Überall wo ihr diese Kästchen mit dem Punkt darüber seht sollte ein geschweiftes U stehen, als Menge aller punktierten Umgebungen von

x_{0}

\forall U \in _{A} \exists F \in ℱ : f (F) \subseteq U

Für

ℱ = {\dot{}}_{x_{0}}

ist

lim_{ℱ} f (x) = lim_{x \to x_{0}} f (x)

In erster Linie macht mir hier der Begriff Filter Mühe. Ich verstehe nicht ganz wie

f

entlang von

ℱ

kovergieren kann bzw. was das beudeutet.
Des weiteren haben wir eine Tabelle aufgestellt in der wir die verschiedenen Fälle, die
bei einer Grenzwertbetrachtung auftreten können notiert.

Da es aus irgendeinem Grund nicht möglich ist hier meine array-Umgebung anzuzeigen, hänge ich die Tabelle als Bild in den Anhang.

So wie ich das verstanden habe sollen das die Kombinationen von Filter und Umgebung sein, doch leider hat er das so mehr oder weniger ohne Begründung hingeschrieben....

Vlt. noch mal zum Abschluss ein paar konkrete Fragen: Was ist ein Filter (wenn möglich mit Bsp.)? Wieso kovergiert eine Funktion entlang eines Filters? Und wieso sind die zwei oben genannten Grenzwerte gleich?
Der Beitrag ist etwas länger, dennoch hoffe ich, dass er den Rahmen des Forums nicht sprengt...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HilbertRaum aktiv_icon

12:23 Uhr, 12.11.2016

Betrachte mal einen allg. topo. R. X.
Konvergenz v. Punktfolgen

(x_{n})

ist wie folgt erklärt:

Def. Konvergenz

(x_{n}) \in X

heisst konv. gegen

x_{0} \in X

, wenn es zu JEDER Umg.

U (x_{0})

ein

n_{0}

gibt, so dass

x_{n} \in U (x_{0}) \forall n \geq n_{0}

.
D.h. in jeder

U (x_{0})

liegt ein Endstück von

(x_{n})

.

Def. Häufungspunkt

(x_{n}) \in X, x_{0}

heisst H. von

(x_{n})

, wenn

\forall U (x_{0})

gilt: unendl. viele

x_{n} \in U (x_{0})

, m.a.W.

x_{0}

ist Berührungspunkt jedes Entstücks von

(x_{n})

.

Man sieht, dass die Def. formal derjenigen in Eukl. Räumen entspricht.
ABER: In allg. TR entfalten die Def. in beiden Räumen erhebliche Abweichungen.

Z.B. musst du dich in allg. TR von der Endeutigkeit des Limes einer Folge verabschieden. Klassisches Bsp. ist ein X mit der gröbsten T., der mind. 2 Punkte enthält. Dann hat jeder Folge aus X jeden Punkt aus X als Limes (denn jeder Punkt hat X als einzige Umgebung, damit enthält sie die gesamte Punktfolge).

Das ist aus math. Sicht so nicht hinnehmbar! Daher hat man sich überlegt, den Raumbegriff etwas einzuschränken.

Im wesentlichen macht man folgendes:
(1) Filter werden an die Stelle von Punktfolgen gesetzt
(2) Der allg. TR wird eingeschränkt, indem man man fordert: zu 2 Punkten

x \neq y

gibt es fremde Umgebungen U(x) und V(x) (= Hausdorffsches Trennungsaxion).

zu (1):
Wir erinnern uns, dass im allg. TR die Konv. von

x_{n}

x_{0}

auf den Vergleich zweier Mengensysteme beruht: nämlich von der Umgebungsbasis von

x_{0}

U B (x_{0})

und den Endstücken

E S (x_{n})

von

(x_{n})

.
Beide Mengensysteme haben gemeinsame Eigenschaften:
1a)

\emptyset \notin U B

und

U_{1}, U_{2} \in U B \Rightarrow U_{1} \cap U_{2}

ist

U (x_{0})

1a)

\emptyset \notin E S

und

U_{1}, U_{2} \in E S \Rightarrow U_{1} \cap U_{2} \in E X

Damit motiviert man die Def. Filter:
Ein nicht-leeres System

ℱ

von Teilmengen von X heisst Filterbasis, wenn es den folgenden Axiomen genügt:
A1)

\emptyset \notin ℱ

A2)

F_{1}, F_{2} \in ℱ \Rightarrow \exists F \in ℱ : F \subseteq F_{1} \cap F_{2}

Und weiter zum Filter:
Ein nicht-leeres System

ℱ

von Teilmengen von X heisst Filter, wenn es den folgenden Axiomen genügt:
A1)

\emptyset \notin ℱ

A2)

F_{1}, F_{2} \in ℱ \Rightarrow F_{1} \cap F_{2} \in ℱ

A3)

U \in ℱ, U \subseteq V \Rightarrow V \in ℱ

zu (2):
Der so eingeschränkte allg. TR wird Hausdorffscher Raum genannt.

Damit kann man das eingangs erwähnte Problem parieren mit der folgenden schönen Aussage:
Sei X ein TR. Jeder konvergente Filter

ℱ

hat einen eindeutig bestimmten Limes gdw. X ein Hausdorffscher Raum ist. Für den Limes schreibt man dann:

x = lim ℱ

, oder einfach

ℱ \to x

.

Sorry für die Langschweifigkeit, ich hoffe, es trägt zur Erhellung bei.

Nachtrag: Deine Epsilon/Delta Definition kann gut in metr. Räumen angewendet werden. Leider versagt das in allg. TR aufgrund der nicht unb. vorhandenen Metrik.

Gast17 aktiv_icon

22:04 Uhr, 12.11.2016

Vielen Dank für deine Mühe!

Das ganze ist zwar immer noch nicht ganz klar, aber auf jeden Fall klarer als am Anfang!

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