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Mengengleichheit zeigen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Inklusion, Mengengleichheit, Mengenlehre

flowerpower1234 aktiv_icon

16:04 Uhr, 29.03.2012

Hallo zusammen,
in diesen Aufgaben geht es darum Mengengleichheiten zu beweisen (im Anhang die konkrete Aufgabenstellung). Die ersten drei Teilaufgaben habe ich versucht zu lösen und wäre euch dankbar, wenn ihr mal drüber schauen könntet, um mich bei Fehlern zu korrigieren. Bei der letzten Aufgabe weiß ich ehrlich gesagt nicht, wie ich da eine zutreffende Aussage finden kann, um sie zu beweisen. Hat da jemand einen Tipp? Vielen Dank im Voraus.

(i)

Sei

x \in A \ (B \cup C)

\Rightarrow x \in A

und

x \notin (B \cup C)

\Leftrightarrow x \in A

und

(x \notin B

und

x \notin C)

\Leftrightarrow (x \in A

und

x \notin B)

und

(x \in A

und

x \notin C)

\Leftrightarrow x \in (A \ B) \cap (A \ C)

Sei

x \in A \ (B \cap C)

\Rightarrow x \in A

und

x \notin (B \cap C)

\Leftrightarrow x \in A

und

(x \notin B

oder

x \notin C)

\Leftrightarrow (x \in A

und

x \notin B)

oder

(x \in A

und

x \notin C)

\Leftrightarrow x \in (A \ B) \cup (A \ C)

(ii) "

\subseteq

" Sei

x \in (A \cup B) \ C

\Rightarrow x \in A

oder

x \in B

und

x \notin C

\Rightarrow (x \in A

und

x \notin C)

oder

(x \in B

und

x \notin C)

\Rightarrow x \in (A \ C)

oder

x \in (B \ C)

\Rightarrow s \in (A \ C) \cup (B \ C)

\supseteq

" Sei

x \in (A \ C) \cup (B \ C)

\Rightarrow x \in (A \ C)

oder

(B \ C)

\Rightarrow (x \in A

und

x \notin C)

oder

(x \in B

und

x \notin C)

\Rightarrow x \in A

und

x \notin C

oder

x \in B

\Rightarrow x \in A

oder

x \in B

und

x \notin C

\Rightarrow x \in (A \cup B) \ C

(iii) Sei

x \in (A \ B) \ C

\Leftrightarrow x \in (A \ B)

und

x \notin C

\Leftrightarrow x \in A

und

x \notin B

und

x \notin C

\Leftrightarrow x \in A

und

x \notin B \cup C

\Leftrightarrow x \in (A \ (B \cup C)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

michaL aktiv_icon

16:25 Uhr, 29.03.2012

Hallo,

zu (i): Jeweils der erste Schritt ist bei dir "nur" eine Implikation. Da du aber insgesamt Äquivalenzen zeigen sollst, musst du dir Gedanken machen, ob auch der jeweils erste als Äquivalenz geschrieben werden kann.

Bei (ii) "

\subseteq

" ist dir am Ende der Tippfehler(?) unterlaufen, aus einem

x

ein

s

zu machen. Ansonsten sieht's ok aus.

Zur letzten Aufgabe: Versuch doch mal ein Diagramm.

Mfg Michael

flowerpower1234 aktiv_icon

17:42 Uhr, 29.03.2012

Hallo !

Ja, zu

(i)

müsste das jeweils auch eine Äquivalenzeichen sein, oder?

Zu (ii): Das ist tatsächlich ein Tippfehler. Danke für den Hinweis!

Ist es denn richtig, dass ich bei (ii) eine linksseite und rechtsseite Inklusion geezeigt oder hätte man das auch als Äquivalenz schreiben können?

Mithilfe von Venn-Diagrammen ist mir folgende Aussage eingefallen, die man beweisen könnte:

A \ (B \ C) = (A \ B) \cap (A \ C)

Sei

x \in A \ (B \ C)

\Leftrightarrow x \in A

und

x \notin (B \ C)

\Leftrightarrow x \in A

und

x \notin B

und

x \notin C

und

x \in A

\Leftrightarrow x \in A B

und

x \in A C

\Leftrightarrow x \in (A \) \cap (A \ C)

Ist das richtig?

pwmeyer aktiv_icon

12:58 Uhr, 30.03.2012

Hallo,

Deine Formel kann ich mit Venn-Diagrammen nicht wiederfinden.

Der Fehler im Nachweis liegt an der Umformung von

x \notin (B \ C)

. Das ergibt nämlich

[x \notin B

oder

x \in C]

.

Gruß pwm

flowerpower1234 aktiv_icon

20:31 Uhr, 30.03.2012

Kannst du mir mal versuchen mir zu erklären, warum das "oder" heißen würde? Das kann ich nämlich nicht so ganz nachvollziehen....

Underfaker aktiv_icon

20:36 Uhr, 30.03.2012

x \notin (B \ C)

heißt doch in Worten,

x

ist nicht in der Menge

B

ohne C.

Welche Elemente sind nicht in

B

ohne C? Das sind die die erst garnicht in

B

sind oder aber die die in

C

sind, weil alle die in

C

sind fallen durch "ohne C" raus.

Die einzigen Elemente die dort drinn sind, sind die, die in

B

sind aber nicht in

C

sind.

Entsprechend gilt für das Gegenstück

x \notin (B \ C),

dass

x \notin B \lor x \in C

flowerpower1234 aktiv_icon

23:03 Uhr, 31.03.2012

Ah okay, danke. Dann ist die Gleichheit, die ich angenommen hatte nicht zutreffend. Ich hab noch mal folgendes überlegt...

z . z

. A\(B\C)=(A\B)

\cup (A \cap C)

Sei

x

in A\(B\C)

\Leftrightarrow x \in A

und

x \notin (B C)

\Leftrightarrow x \in A

und

x \notin B

oder

x \in C

\Leftrightarrow x \in A

und

x \notin B

oder

(x \in A

und

x \in C)

\Leftrightarrow x \in A B

oder

x \in A \cap C

\Leftrightarrow x \in A B \cup (A \cap C)

Ist das richtig?

hagman aktiv_icon

00:16 Uhr, 01.04.2012

Oder auch - vielleicht etwas offensichtlicher mit deMorgan:

\neg (p \lor q) \leftrightarrow (\neg p \land \neg q)

x \in A \ (B \ C)

\Leftrightarrow x \in A \land \neg (x \in B \ C)

\Leftrightarrow x \in A \land \neg (x \in B \land x \notin C)

\Leftrightarrow x \in A \land (x \notin B \lor x \in C)

\Leftrightarrow (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in A \land x \in C)

\Leftrightarrow x \in A \ B \lor x \in A \cap C

\Leftrightarrow x \in (A \ B) \cup (A \cap C)

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