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lackii

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15:58 Uhr, 30.10.2011

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Hi,
studiere 1. Semester Wi-Ing. Fachrichtung E-technik und nach den ersten drei Mathevorlesungen in Mathe habe ich nicht viel verstanden, obwohl ich immer sehr gut in Mathe war. Daher brauche ich etwas Hilfe zu meiner Hausarbeit (ich werde natürlich noch mit kommilitonen darüber rätseln aber einen ersten Anstoß hier wäre nicht schlecht..

(1) Seien M und N nichtleere Mengel und sei f:M→N eine Abbildung. Zeigen Sie:
{(a,b)∈MxN:f(a)=f(b)} ist eine Äquivalenzrelation auf M.
Geben sie in dem Fall M=ℝxℝ,N=R,f((x,y)):x2+y2∀(x,y)∈M eine geometrische Beschreibung der entsprechenden Äquivalenzklassen.

Zu Aufgabe habe ich fast keine Ahnung!! Ich weiß nur, dass drei Bedingungen für eine Äquivalenzrelation erfüllt sein müssen:
- reflexiv
- symmetrisch
- und transitiv,

aber was diese zu bedeuten haben ist mir ebenfalls nicht schlüssig, Wikipedia liefert mir da auch keine eindeutige Antwort :(
Würde mich sehr über Hilfe freuen !!
Danke im voraus!
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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michaL

michaL aktiv_icon

17:27 Uhr, 30.10.2011

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Hallo,

die drei Bedingungen, die du prüfen musst, hast du (umgangs-)sprachlich korrekt angegeben:
reflexiv
transitiv
symmetrisch

Aber was heißt das in Mathe?

Mfg Michael
lackii

lackii aktiv_icon

22:12 Uhr, 31.10.2011

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Also reflexiv bedeutet soviel wie dass a in relation zu a steht also jedes element in relation zu sich selber steht. ( Was ich mir darunter vorstellen soll ist mir nicht schlüssig...)

Transitivität bedeutet, dass wenn f(a)=f(b),f(b)=f(c) dass f(a)=f(c)


symmetrie ist gegeben, da f(a)=f(b)f(b)=f(a)

Würde gerne näheres über die Reflexivität erfahren.


MFG Lackii
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hagman

hagman aktiv_icon

17:36 Uhr, 01.11.2011

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Die betrachtete Relation "erbt" die drei Eigenschaften eigentlich recht unmittelbar von den entsprechenden Eigenschaften der Gleichheit.
Schreibe x~y für die betrachtete Relation.
Zu zeigen ist also:
1) Für jedes x∈M gilt x~x
Das bedeutet aber einfach: Für jedes x∈M gilt f(x)=f(x).
Und das ist ja wohl trivialerweise wahr.
2) Für x,y mit x~y folgt auch umgekehrt y~x
In der Tat heißt x~y nichts anderes als f8x)=f(y), aber das bedeutet (aufgrund der Symmetrie von von =) auch f(y)=f(x) und somit y~x
3) Für x,y,z mit x~y und y~z folgt auch x~z
Sind x~y und y~z gegeben, so haben wir f(x)=f(y) und f(y)=f(z). Aufgrund der Transitivität von = folgt dann auch f(x)=f(z), somit x~z
Das war es schon. Je genauer man hionschaut, desto weniger ist sozusagen zu zeigen :-)
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Aurel

Aurel

01:07 Uhr, 02.11.2011

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"Also reflexiv bedeutet soviel wie dass a in relation zu a steht also jedes element in relation zu sich selber steht. ( Was
ich mir darunter vorstellen soll ist mir nicht schlüssig...)"

zur besseren Vorstellung:

Relationen kann man zu den Eigenschaften zählen:
Dabei gibt es Eigenschaften, die beziehen sich nur auf einen Gegenstand, wie z.B. rot, groß, klein,...
und relationale Eigenschaften, also Relationen, die sich jeweils auf mehrere (hier 2) Gegenstände beziehen, wie. z.B. verwandt, parallel, kleiner, ....

manche der Relationen sind Äquivalenzrelationen, wie z.B.: parallel

Beweis:

eine Gerade ist zu sich selbst parallel .........reflexiv

Gerade a ist zu Gerade b parallel ⇒ Gerade b ist zu Gerade a parallel.........symmetrisch

Gerade a ist zu Gerade b parallel und Gerade b ist zu Gerade c parallel ⇒ Gerade a ist zu Gerade c parallel ............. transitiv

-----------

Sind "verwandt" und "kleiner" auch Äquivalenzrelationen?


(Äquivalenz-)Relation auf einer Menge:

Mal dir vielleicht zum Verständnis einen Mengenkreis mit einigen Strichen darin auf. Fasse jene Striche in einer Untermenge zusammen, die (bis zu einem gewissen Grad) parallel zueinander sind (also in der Relation "parallel" zueinander stehen) - man sieht die Äquivalenzrelation "parallel" teilt die Menge in nichtleere, disjunkte Untermengen, Äquivalenzklassen genannt, auf.

Die Relation f(a)=f(b) bedeutet hier, dass 2 beliebige Elemente einer Menge genau dann in der Relation "f(a)=f(b)" zueinander stehen, wenn sie den gleichen Funktionswert f haben (ganz unabhängig davon, wie die Funktion aussieht)

diese Relation ist reflexiv, denn 2 gleiche Funktionsargumente haben natürlich immer den gleichen Funktionswert, also f(a)=f(a)

symmetrisch, denn, wenn der Funktionswert von a gleich dem Funktionswert von b ist, dann ist der Funktionswert von b natürlich auch gleich dem Funktionswert von a, also wenn f(a)=f(b) dann auch f(b)=f(a)

transitiv, denn wenn f(a)=f(b) und f(b)=f(c) dann auch f(a)=f(c)

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"Geben sie in dem Fall M=ℝxℝ,N=R,f((x,y)):x2+y2∀(x,y)∈M eine geometrische Beschreibung der entsprechenden Äquivalenzklassen."

Wir haben also gesehen, dass die Relation "f(a)=f(b)" eine Äquivalenzrelation ist , ganz unabhängig davon, wie die Funktion f aussieht.

f sei nun bestimmt durch: f((x,y)):x2+y2

alle Elemente, hier die geordneten Paare (x,y), die den Funktionswert f((x,y)):x2+y2 haben, stehen in der Relation "f(a)=f(b)" zueinander und bilden eine Äquivalenzklasse.
Interpretiert man die geordneten Paare (x,y) als Punkte in einem x-y-Koordinatensystem, so teilt die Äquivalenzrelation die Menge der geordneten Paare (x,y) in Äquivalenzklassen, wobei jede Äquivalenzklasse jene Elemente (x,y) enthält, die auf dem selbem Kreis liegen.


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