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Mengenlehre: Wie viele Abbildungen f: X -> X?

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Sonstiges

Tags: Abbildung, Bijektion, Menge, Mengenlehre, vier Elemente

 
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Dreemer

Dreemer aktiv_icon

13:41 Uhr, 05.11.2017

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Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe. Diese scheint mir relativ eindeutig zu sein, wobei ich mir gleichzeitig nicht sicher mit meinem Lösungsvorschlag bin. Hier ist erstmal die Aufgabe:

Es sei X eine Menge mit vier Elementen.

(a) Wie viele Abbildungen X→X gibt es?

(b) Wie viele Bijektionen X→X gibt es?

Die Antworten sind genau zu begründen.
____________________________________________________________________________________

Zu meinem Lösungsvorschlag:

Es gilt also:

X hat vier Elemente ⇒|X|=4

Außerdem gilt:

|X|=|X|

Zu a):

Es können dementsprechend nur so viele Abbildungen dargestellt werden, wie es passende Elemente von X zu X gibt. Da X vier verschiedene Elemente besitzt, kann f:X→X entsprechend nur vier mal abgebildet werden.

Zu b):

Da bin ich mir bei der Formulierung der Antwort nicht sicher. Laut Definition ist die Abbildung von einer Menge in einer anderen bijektiv, wenn die Kardinalität der beiden Mengen gleich ist. In diesem Fall gilt dies ja. Jetzt weiß ich nicht genau, ob die Anzahl der Bijektion hier der Anzahl der Elemente, die abgebildet werden können entspricht (also für Bijektionen), oder ob das Gesamtbild betrachtet wird (also nur eine Bijektion für die komplette Abbildung).

Gibt es ein paar Ratschläge oder Sachen, die noch in Betracht gezogen werden müssen?

Liebe Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:57 Uhr, 05.11.2017

Antworten
Nein.

a) 44 Abbildungen, da jedes von 4 Elementen auf jedes von 4 Elementen abgebildet werden kann. Also 4⋅4⋅4⋅4

b) 4! Abbildungen, da das 1. Element auf 4 Elementen abgebildet werden kann, das 2. dann nur auf 3, das 3. auf 2 und das 4. hat keine Wahl. Also 4⋅3⋅2⋅1.
Frage beantwortet
Dreemer

Dreemer aktiv_icon

14:42 Uhr, 05.11.2017

Antworten
Hallo,

vielen Dank für die Antwort. Das ergibt jetzt sogar mehr Sinn. Ich schließe dann mal die Diskussion wieder.

Liebe Grüße.