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Mengensystem ist eine sigma-Algebra

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

PhysX aktiv_icon

18:03 Uhr, 18.10.2017

Hallo, ich habe folgende Aufgabe geben:
Es geht hierbei um die 2.
Ich schreibe jetzt

F = {A \subseteq Ω : A

o der

A^{c}

ist abzählbar

}

F

ist nicht leer, da gilt

A \in F

2. Wenn

A

\in

F

, so gilt auch

A^{c}

\in

F

, Wen nun

A^{c}

abzählbar ist, dann gilt:

A^{c}

\in

F

. Wenn A=

(A^{c})^{c}

abzählbar ist, dann gilt wieder

A^{c}

\in

F

. Somit gilt in jeden Fall

A^{c}

\in

F

.
3.Sind

A_{1}, A_{2} . . . \in A

, so ist auch

⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in A

. (Jede abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist abzählbar)
Ich bin mir bei dieser Lösung aber nicht sicher, wäre sehr hilfreich wenn jemand helfen könnte.

Danke im voraus!

ermanus aktiv_icon

19:41 Uhr, 18.10.2017

Hallo,
bei 3. ist alles OK, wenn die einzelnen

A_{i}

abzählbar sind, dann funktioniert dein Argument,
was aber, wenn ein

A_{i}

so beschaffen ist, dass

A_{i}^{c}

abzählbar ist?
Mach dir für diesen Fall spezifische Gedanken über die Abzählbarkeit des
Komplements der Vereinigung.
Gruß ermanus

PhysX aktiv_icon

17:28 Uhr, 19.10.2017

Ah ok, stimmt. Wenn ein

A_{i}

nicht abzählbar ist, dann ist es die Vereinigung auch nicht, aber ihr Komplement schon. D.h

(⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i})^{c} = ⋂_{i = 1}^{\infty} (A^{c})_{i}

was abzählbar ist.
Daraus folgt:

⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in F

, da wir gezeigt haben, dass das Komplement abzählbar ist. Ich hoffe das stimmt so. Und wie siehts mit den anderen Punkten aus, oder ist der Beweis damit fertig?

lg

Edit: Bin mir mittlerweile nicht so sicher ob die 1) stimmt, ich denke hier muss gezeigt werden, dass