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Messbare Mengen

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Analysis, Maßtheorie

bitofabothertbh aktiv_icon

14:47 Uhr, 12.01.2023

Hi zusammen, ich hätte eine kurze Frage ob mein Ansatz Sinn ergibt, oder ob ich total auf den Holzweg bin.

Ich soll zeigen, dass eine Menge messbar ist.

a, b \in ℝ, a < b, f [a, b] \to [0, \infty]

sei eine messbare Funktion.
Zeigen Sie dass

V := {x \in ℝ^{3} : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq f (x_{3})^{2}}

eine messbare Menge ist.

Und dass:

L^{3} (V) = π \int_{[a, b]} f^{2} x d x

ist.

Ich habe jetzt gedacht dass ich um zu zeigen dass V messbar ist zeigen könnte dass die Funktion:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq f (x_{3})^{2}

messbar ist.

Da ich weiß dass f messbar ist, kann ich ja annehmen, dass

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

beschränkt ist und muss noch zeigen dass

χ_{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}

integrierbar ist.

Stimmt das soweit?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

bitofabothertbh aktiv_icon

16:13 Uhr, 12.01.2023

Eine andere Idee, die mir noch eingefallen ist, wäre dass wenn wir

(ℝ^{3}, B (ℝ^{3}))

als messbaren Raum nehmen (also mit

B (ℝ^{3})

meine ich die Borel-Sigma-Algebra auf

ℝ^{3}

, ich bekomme nur kein geschweiftes B hin...).
Und wir wissen ja das für Mengen die in der

B (ℝ^{3})

liegen, gilt dass es messbare Mengen sind.
Und bei V handelt es sich ja um eine halboffene Menge, V liegt also in

B (ℝ^{3})

.

Würde diese Argumentationen stimmen?

HAL9000

16:26 Uhr, 12.01.2023

f

ist außerhalb des Intervalls

[a, b]

gar nicht definiert. Inwiefern ist dann dein

V

überhaupt sauber definiert, wo dort doch auch

x_{3} \notin [a, b]

zum Zuge kommen können??? Es sollte daher eher

V := {x \in ℝ^{2} \times [a, b] : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq {(f (x_{3}))}^{2}}

heißen.

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16:34 Uhr, 12.01.2023

Hmm, das ergibt Sinn, ich habe nochmal überprüft ob ich mich beim eingeben der Aufgabe verschrieben habe, habe ich aber nicht.

Aber das kann ich ja bei meiner Antwort mal angeben, dankeschön.

HAL9000

16:39 Uhr, 12.01.2023

Ok, betrachten wir im folgenden nur Definitionsmenge

D := ℝ^{2} \times [a, b]

.

Was erstmal die Messbarkeit betrifft: Es sollte zum Zeitpunkt der Betrachtungen doch bekannt sein, dass Summen, Differenzen, Produkte messbarer Funktionen wieder messbar sind. Startend mit den Komponenten-Projektionsfunktionen

f_{k} (x) = x_{k}

für

k = 1, 2, 3

, deren Messbarkeit trivial ist, kann man so Schritt für Schritt weitere messbare Funktionen sammeln, also

x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, f (x_{3}), {(f (x_{3}))}^{2}

, alle für

x \in D

.

Schließlich ist damit dann auch

g (x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - {(f (x_{3}))}^{2}

messbar, und folglich

V = {x \in D : g (x) \leq 0} = g^{- 1} ((- \infty, 0])

eine Borelmenge (oder wie du sagst "messbare Menge").

----------------------------------------------------------------------

Zum Volumenintegral: Da bekommen wir zunächst

L^{3} (V) = \int_{[a, b]} L^{2} ({x \in ℝ^{2} : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq {(f (x_{3}))}^{2}}) d λ (x_{3})

= \int_{[a, b]} π {(f (x_{3}))}^{2} d λ (x_{3}) = π \int_{[a, b]} {(f (x))}^{2} d λ (x) (*)

An der Stelle wäre ich jetzt vorsichtig weiter umzuformen, solange wir von

f

nichts weiter wissen als nur Messbarkeit: Denn selbst wenn dieses Lebesgue-Integral existiert, muss es das zugehörige Riemann-Integral (welches du hingeschrieben hast) noch lange nicht tun.

Beispielsweise bekommen wir für

f (x) = {\begin{array}{ll} 0 & für rationale x \\ 1 & für irrationale x \end{array}

problemlos das Volumen

L^{3} (V) = π (b - a)

, während das zugehörige Riemann-Integral zu (*) nicht existiert.

bitofabothertbh aktiv_icon

16:57 Uhr, 12.01.2023

Vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen, und ja das sollte eigentlich bekannt sein, ich stand total auf dem Schlauch.

HAL9000

16:58 Uhr, 12.01.2023

Hab inzwischen noch was zur Volumenberechnung ergänzt.

bitofabothertbh aktiv_icon

16:59 Uhr, 12.01.2023

Das habe ich eben erst gesehen, ich saß noch am ersten Teil, vielen Dank!

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