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Meßbarkeit von Mengen und Funktionen
Universität / Fachhochschule
Maßtheorie
Tags: Maßtheorie
 
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Hi zusammen, ich habe die Aufgabe an welcher ich gerade sitze mal als Bild hochgeladen um mir Schreibarbeit zu sparen. Zusätzlich findet ihr unsere Definition zur Messbarkeit bezüglich Mengen und Funktionen als Bild. Zur Definition der Messbarkeit bei Mengen habe ich zusätzlich noch Bemerkungen ins Bild gepackt von welchen ich glaube, dass sie vielleicht bei der Lösung hilfreich sein können. Ausserdem noch ein Lemma das vielleicht hilft. Sorry, dass es so viel kram ist... Um die Aufgabe zu lösen glaube ich, dass ich die Definition 1.4.2 (Siehe Bild) irgendwie Nutzen muss um damit an die Messbarkeit der Mengen und ranzukommen. Das Hauptproblem ist hier wohl das ich unsere Definition 1.4.2 eigentlich gar nicht richtig verstehe, vielleicht kann mir das jemand in anderen Worten erklären. Scheinbar muss ich ja irgendwie eine Sigma-Algebra ins Spiel bringen... Ich bin leider noch relativ planlos was diese Aufgabe angeht und habe mir verschiedene Dinge aus unserem Skript angesehen. Maßraum könnte auch ein Schlagwort sein welches vielleicht hilft... Folgende Gedanken habe ich mir noch selbst gemacht: Sei A:= Ich hatte gehofft damit vielleicht irgendwie darauf zu kommen, dass Bemerkung 1.1.2 gilt was scheinbar auch die Definition 1.1.2 erfüllt. Aber daraus, dass beide Teile kleiner sind als folgt vermutlich nicht, dass die Summe auch kleiner ist. Ich dachte aber vielleicht geht das dann irgendwie im Zusammenhang damit das f und g laut Aufgabenstellung -messbar sind. Bei jedem der bis hierhin gelesen und sich die Bilder angesehen hat möchte ich mich schon mal vorab bedanken. War ja doch recht viel. Grüße Husteguzel     Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Husteguzel! Sehr gut, dass du alle benötigten Definitionen mitgeliefert hast! :-) Vorweg: Ich habe dieses Wochenende wenig Zeit und kann daher wahrscheinlich nicht auf Rückfragen reagieren. Dennoch hier ein erster Input: Verwirrenderweise hat die typische Lösung der vorliegende Aufgabe nichts wirklich mit der Definition einer -messbaren Menge zu tun. Wir benötigen eigentlich nur, dass die -messbaren Mengen eine -Algebra bilden. Es gilt nämlich folgende allgemeinere Behauptung: Es seien messbar bezüglich einer -Algebra . Dann gilt und . 1. Teilbehauptung: Die Aussage von Aufgabe 13 folgt aus der gerade von mir genannten allgemeineren Behauptung. Beweise nun die von mir genannte allgemeinere Behauptung: Betrachte dazu die Menge , wobei für jedes die Menge definiert sei durch . Um zu zeigen, genügt es, die folgenden beiden Behauptungen zu zeigen: 2. Teilbehauptung: Es gilt . 3. Teilbehauptung: Es gilt . Wenn man nun auf diese Weise gezeigt hat, folgt aus Symmetrie-Gründen auch . 4. Teilbehauptung: Aus und folgt . Jetzt habe ich die Aufgabe in vier unabhängige Teilaufgaben 1. bis 4. heruntergebrochen. Sind die von mir geschilderten Überlegungen soweit verständlich? Dann kannst du dich an den Versuch begeben, unabhängig voneinander die Teilbehauptungen 1. bis 4. zu beweisen. Viele Grüße Tobias |
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Zu deiner Frage nach Erklärungen zu Definition 1.4.2 in anderen Worten: Zunächst wird ja unter 1) definiert, wann eine Funktion messbar bezüglich einer -Algebra auf heißt. Hier sind die Kriterien aus Lemma 1.4.1 wohl in den meisten Fällen besser zu gebrauchen als die Definition selbst. Unter 2) wird dann unter Verwendung des unter 1) definierten Messbarkeits-Begriffs definiert, wann eine Funktion messbar bezüglich eines Maßes auf heißt. Und zwar betrachtet man nun nicht wie unter 1) irgendeine -Algebra auf , sondern speziell die -Algebra ist eine -messbare Menge . Anstatt zu sagen "f ist messbar bezüglich der (speziellen) -Algebra " (gemäß der unter 1) genannten Definition) kann man dann auch sagen: "f ist messbar bezüglich ". Somit wird unter 2) lediglich ein Spezialfall der Definition unter 1) mit einem eigenen Namen belegt. |
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Hi tobit, schon mal vielen Dank für deine erneute Hilfe. Ich denke Definition 1.4.2 verstehe ich nun. Im Prinzip weiß ich also wegen der Definition, dass f und g messbar sind auf die -messbaren Mengen welche Element der -Algebra sind. Wenn ich also zeige, dass f<g und f=g Element von A sind ist die Aufgabe gelöst. (Sagt man eigentlich die Werte welche die Funktionen liefern bilden eine Menge welche -messbar ist?) Der erste Teil deiner Allgemeinen Behauptung folgt also aus der Definition und der zweite Teil und bleibt zu zeigen? Bezüglich habe ich aber noch eine Rückfrage. Zum einen wieso nehmen wir ? Ich dachte wir befinden uns in . Als nächstes ist mir hier der Gedanke gekommen, dass diese Menge a nicht = [f<g] sein kann. Wäre f(x)= , q = und g(x) = 1 dann wäre die Bedingung f<q<g nicht erfüllt und das x für welches f(x)= und g(x) = 1 wird wäre nicht in der Menge a. [f<g] würde dieses Element aber enthalten. Ich müsste ja also sicherstellen, dass es immer ein q gibt welches zwischen f(x) und g(x) liegt. Mir ist nicht ganz klar welches Ziel ich mit dieser Menge a verfolge bzw. warum diese zur Lösung bei trägt. Ich scheine damit ja zu zeigen, dass ich zwischen f(x) und g(x) immer noch einen Wert quetschen kann ohne das es am Ergebnis etwas ändert. Ich nehme an ich übersehe etwas wichtiges. Grüße Husteguzel |
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Deinen ersten drei Abschnitten kann ich leider nicht folgen; mir ist nicht klar, was du meinst. Falls ich im Einzelnen darauf eingehen und Rückfragen stellen soll, gib mir bitte Bescheid. Zu meiner 1. Teilbehauptung, dass die Aussage von Aufgabe 13 aus meiner allgemeineren Behauptung folgt: Beweisen wir also die Aussage von Aufgabe 13 (unter Annahme der Gültigkeit meiner allgemeineren Behauptung). Seien dazu -messbar bezüglich eines Maßes auf . Zeigen müssen wir die -Messbarkeit der beiden Mengen und . Da und beide -messbar sind, sind diese beiden Abbildungen messbar bezüglich der -Algebra der -messbaren Mengen. Nach "meiner allgemeineren Behauptung" ist also und , d.h. und sind tatsächlich wie gewünscht -messbar. Damit ist die 1. Teilbehauptung bewiesen. " Bezüglich a:=⋃q∈ℚ[f<q<g] habe ich aber noch eine Rückfrage. Zum einen wieso nehmen wir ℚ? Ich dachte wir befinden uns in ℝ. " Hätte ich in der Definition von a statt geschrieben, wäre zwar immer noch gewesen, aber die Verwendung von hilft uns bei dem Nachweis von : ist als -Algebra abgeschlossen unter ABZÄHLBAREN Vereinigungen und ist abzählbar. Also genügt es für den Nachweis von zu zeigen, dass gilt für jedes . " Als nächstes ist mir hier der Gedanke gekommen, dass diese Menge a nicht = [f<g] sein kann. " Doch, es gilt (siehe unten). " Wäre f(x)= 12, q = 12 und g(x) = 1 dann wäre die Bedingung f<q<g nicht erfüllt " Ja. " und das x für welches f(x)= 12 und g(x) = 1 wird wäre nicht in der Menge a. " Doch: wäre z.B. Element von und damit auch Element von . " [f<g] würde dieses Element aber enthalten. Ich müsste ja also sicherstellen, dass es immer ein q gibt welches zwischen f(x) und g(x) liegt. " Genau. Und für jedes mit und gibt es tatsächlich ein mit , einfach weil für je zwei Zahlen mit stets ein mit existiert. (Letztere Eigenschaft sollte bekannt sein. Man beschreibt sie häufig mit den Worten " liegt dicht in .".) Bleibt noch der Fall zu untersuchen, dass für ein zwar gilt, aber nicht . Dann gilt oder . In beiden Fällen gibt es jedoch wieder ein mit . " Mir ist nicht ganz klar welches Ziel ich mit dieser Menge a verfolge bzw. warum diese zur Lösung bei trägt. " Es ist leichter nachzuweisen als direkt nachzuweisen. Es ist nämlich leichter nachzuweisen, dass für alle gilt, als direkt nachzuweisen. Von welchen Mengen wissen wir denn überhaupt ? Wegen der -Messbarkeit von f und g wissen wir gemäß Lemma 1.4.1, dass z.B. und für alle gilt. Sei nun . Wie hängt die Menge mit den Mengen und zusammen? Kannst du nun alles zum Nachweis von (Teilbehauptungen 2. und 3.) zusammensetzen? Für die 4. Teilbehauptung versuche mithilfe der Mengen und darzustellen (und dann aus und auf zu schließen). |
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Ich verstehe nicht wieso deine allgemeine Behauptung zu beweisen ist. Folgt die Messbarkeit von f und g bezüglich einer Sigma-Algebra nicht direkt aus Definition 1.4.2? Also geht die Behauptung doch bereits aus der Aufgabenstellung hervor? Die Behauptung ist natürlich sehr gut weil sie scheinbar die Aufgabe vereinfacht, aber der Beweis der Behauptung wirkt auf mich wie "Die Behauptung stimmt weil es ja sowieso so sein muss". Ich habe das jetzt so verstanden, dass f,g Messbar bezüglich einer Sigma-Algebra sind welche nur -messbare Mengen enthält. Wenn [f<g] und [f=g] gilt dann ist damit die Aufgabe gelöst weil A nur -messbare Mengen enthält. Die Nutzung von Lemma 1.4.1 verstehe ich soweit. Du willst also nutzen, dass und gilt und deshalb auch gilt wenn ich den Zusammenhang finde. Ich würde jetzt sagen der Zusammenhang ist: . Die Menge [f<q<g] enthält also den Schnitt von zwei Mengen welche Element von A sind. Dadurch sollte auch was Behauptung 3 wäre. Behauptung 2 folgt vermutlich daraus, dass dicht in liegt wodurch ich immer zwischen f und g noch ein q schieben kann ohne, dass meine Ergebnismenge sich ändert. Allerdings stört mich daran noch eine Sache. Lemma 1.4.1 gilt für wir machen nun aber einen Sprung zu und scheinbar soll hier immer noch das gleiche gelten, sonst würde ich sagen ist der Beweis nicht richtig. Ich kann zwar nicht widerlegen das es auch für gilt, belegen kann ich es aber auch nicht. Mir erscheint es aber nicht richtig da Q kleiner ist als R und auch wenn es dicht in R liegt kann ich doch sicher noch q finden welche Element von R sind aber nicht von Q. Von Daher liegen bei [f<q] mit und [f<q] mit doch unter umständen unterschiedliche Mengen vor. Wenn dies der Fall wäre kann ich keine Verbindung zu [f<q<g] ziehen. |
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" Ich verstehe nicht wieso deine allgemeine Behauptung zu beweisen ist. " Man muss sie nicht beweisen, aber man kann sie beweisen und das ist nützlich zum Lösen der Aufgabe. " Folgt die Messbarkeit von f und g bezüglich einer Sigma-Algebra nicht direkt aus Definition 1.4.2? Also geht die Behauptung doch bereits aus der Aufgabenstellung hervor? " Die Aufgabenstellung selbst trifft nur eine Aussage über spezielle -Algebren, nämlich die -Algebren der -messbaren Mengen für Maße . Meine allgemeinere Behauptung hingegen trifft eine Aussage über beliebige -Algebren, ist also in diesem Sinne allgemeiner. " Die Behauptung ist natürlich sehr gut weil sie scheinbar die Aufgabe vereinfacht, " Das war mein Ziel bei der Formulierung dieser allgemeineren Behauptung. Man kann natürlich auch eine Formulierung einer Lösung von Aufgabe 13 ohne die allgemeinere Behauptung verwenden. " aber der Beweis der Behauptung wirkt auf mich wie "Die Behauptung stimmt weil es ja sowieso so sein muss". " Du meinst hier den Beweis meiner allgemeineren Behauptung? Da sind wir doch kurz vor einer vollständigen Begründung von , was den ersten Teil der allgemeineren Behauptung beweist. Der Teil fehlt uns hingegen noch, wird aber von uns auch noch bewiesen werden. " Ich habe das jetzt so verstanden, dass f,g Messbar bezüglich einer Sigma-Algebra sind welche nur μ-messbare Mengen enthält. Wenn [f<g] ∈A und [f=g] ∈A gilt dann ist damit die Aufgabe gelöst weil A nur μ-messbare Mengen enthält. " Redest du hier von den f und g aus der Aufgabenstellung oder von denen aus meiner allgemeineren Behauptung? Wenn Ersteres, stimme ich dir zu. Zusammengefasst: Die von mir erdachte Formulierung einer Lösung der Aufgabe besteht grob aus zwei Teilen: Dem Nachweis meiner allgemeineren Behauptung und dem (deutlich kürzeren) Nachweis, dass daraus die Behauptung aus der Aufgabenstellung folgt. " Die Nutzung von Lemma 1.4.1 verstehe ich soweit. Du willst also nutzen, dass [f<q]∈A und [g>q]∈A gilt und deshalb auch [f<q<g]∈A gilt wenn ich den Zusammenhang finde. " Genau. " Ich würde jetzt sagen der Zusammenhang ist: ([f<q]∩[g>q])=[f<q<g]. " Sehr schön! :-) " Die Menge [f<q<g] enthält also den Schnitt von zwei Mengen welche Element von A sind. " Ersetze "enthält also den Schnitt" durch "ist also der Schnitt". " Dadurch sollte auch [f<q<g]∈A Ja, ihr hattet sicherlich in der Vorlesung, dass -Algebren abgeschlossen unter Durchschnitten (von zwei, endlich vielen oder abzählbar vielen Mengen) sind. " was Behauptung 3 wäre. " Die 3. Teilbehauptung folgt dann daraus, dass die Vereinigung der abzählbar vielen Mengen für ist. " Behauptung 2 folgt vermutlich daraus, dass ℚ dicht in ℝ liegt wodurch ich immer zwischen f und g noch ein q schieben kann ohne, dass meine Ergebnismenge sich ändert. " Für jedes mit lässt sich mit der von dir genannten Begründung "ein zwischen und schieben". Das impliziert . Genaugenommen ist noch zu überlegen, aber das ist ungleich leichter: Sei . Zu zeigen ist . Wegen existiert ein mit , d.h. . Insbesondere und damit . " Allerdings stört mich daran noch eine Sache. Lemma 1.4.1 gilt für q∈ℝ wir machen nun aber einen Sprung zu ℚ und scheinbar soll hier immer noch das gleiche gelten, sonst würde ich sagen ist der Beweis nicht richtig. Ich kann zwar nicht widerlegen das es auch für ℚ gilt, belegen kann ich es aber auch nicht. Mir erscheint es aber nicht richtig da Q kleiner ist als R und auch wenn es dicht in R liegt kann ich doch sicher noch q finden welche Element von R sind aber nicht von Q. Von Daher liegen bei [f<q] mit q∈ℝ und [f<q] mit q∈ℚ doch unter umständen unterschiedliche Mengen vor. Wenn dies der Fall wäre kann ich keine Verbindung zu [f<q<g] ziehen. " In der Tat sind die Bedingungen " für alle " und " für alle " nicht in offensichtlicher Weise äquivalent. Aber eine solche Äquivalenz benötigen wir auch gar nicht. Wir benötigen nur, dass die Bedingung " für alle " (die ja wegen der -Messbarkeit von nach Lemma 1.4.1 vorliegt) die Bedingung " für alle " (die wir ja benutzen wollen) impliziert. Und diese Implikation ist relativ klar: Wenn irgendetwas sogar für alle gilt, gilt es erst Recht für alle . Ich finde es übrigens gut, dass du meine Vorschläge kritisch hinterfragst! :-) Da könnte sich manch anderer eine Scheibe von dir abschneiden... ;-) |
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Ok, mir ist die Aussage der allgemeineren Behauptung nun klar. " Ich habe das jetzt so verstanden, dass f,g Messbar bezüglich einer Sigma-Algebra sind welche nur μ-messbare Mengen enthält. Wenn [f<g] ∈A und [f=g] ∈A gilt dann ist damit die Aufgabe gelöst weil A nur μ-messbare Mengen enthält. Redest du hier von den f und g aus der Aufgabenstellung oder von denen aus meiner allgemeineren Behauptung? Wenn Ersteres, stimme ich dir zu." Ja ich meinte die f und g der Aufgabenstellung. Ich denke ich habe jetzt zwar den Teil und verstanden und bewiesen, allerdings muss ich das jetzt noch alle irgendwie schön zusammenfassen. Im Moment habe ich hier 2 Seiten Text dazu :-D). Für den vierten Teil muss ich die Symmetrie nutzen und sagen auch . Liegt das daran, dass das Lemma eben in seinen 5 aussagen äquivalent ist? Irgendwie liegt nun ja [f=g] zwischen den beiden anderen Mengen und deshalb auch in A? |
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" Für den vierten Teil muss ich die Symmetrie nutzen und sagen auch [g<f]∈A. Liegt das daran, dass das Lemma eben in seinen 5 aussagen äquivalent ist? " Nein. Wir haben gezeigt: Für alle -messbaren Abbildungen gilt . Indem wir diese gezeigte Aussage auf die Abbildungen und (in dieser Reihenfolge) anstelle von und anwenden, erhalten wir die Gültigkeit von für unsere Abbildungen und aus "meiner allgemeineren Behauptung". " Irgendwie liegt nun ja [f=g] zwischen den beiden anderen Mengen und deshalb auch in A? " Überzeuge dich von . Schlussfolgere unter Verwendung von , dass auch gilt. " Ich denke ich habe jetzt zwar den Teil a∈A und a=[f<g] verstanden und bewiesen, allerdings muss ich das jetzt noch alle irgendwie schön zusammenfassen. Im Moment habe ich hier 2 Seiten Text dazu :-D)). " Ich persönlich finde es nicht schlimm, wenn dein Beweis etwas ausführlicher formuliert ist. Aber andere mögen das anders sehen. Eine sehr knappe Kurzform: Die Aussage von Aufgabe 13 folgt aus der folgenden Behauptung angewandt auf die -Algebra der -messbaren Mengen: Es seien f.g:X→[-∞,+∞] messbar bezüglich einer σ-Algebra A⊆P(X). Dann gilt [f<g]∈A und [f=g]∈A. Beweis dieser Behauptung: Es gilt nach Lemma 1.4.1. Also folgt aus Symmetrie-Gründen auch und damit . Es sind verschiedene "Zwischenformen" zwischen dieser Kurzform und deiner Langform denkbar. |
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Ja ich hätte natürlich die Aussagen auch Rückwärts auf [g<f] anwenden können. Mit diesem Gedanken kommt man dann auf die Aussage. [f=g] = , daran habe ich natürlich nicht gedacht. Die Aussage macht so Sinn und sollte erfüllen weil eine Sigma-Algebra ja die Bedingung erfüllen muss um eine Sigma-Algebra zu sein. Ich habe mir schon gedacht, dass du die Lösung vermutlich in 5 Zeilen ausdrücken kannst :-D) |
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" [f=g] = ([f<g]∪[g<f])c , daran habe ich natürlich nicht gedacht. Die Aussage macht so Sinn und sollte [f=g]∈A erfüllen weil eine Sigma-Algebra ja die Bedingung a∈A⇒X\a=ac∈A erfüllen muss um eine Sigma-Algebra zu sein. " Ja. Und die Abgeschlossenheit von unter der Vereinigung zweier Mengen geht ein. " Ich habe mir schon gedacht, dass du die Lösung vermutlich in 5 Zeilen ausdrücken kannst :-D)) " Es kommt halt darauf an, ob man grob skizzieren oder die Details ausführen möchte. Was dein(e) Übungsleiter(in) gerne sehen möchte, weiß ich natürlich nicht genau. Für das Verständnis fand ich es dennoch wichtig, dass du dir auch die einzelnen Begründungen und nicht nur die grobe Skizze klargemacht hast. Hast du noch irgendwelche Rückfragen zu dieser Aufgabe? |
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Ich gebe immer meine längeren Versionen ab um zu sehen wie viele Punkte ich damit bekomme. In der Klausur muss ich mich ja leider auch auf meine Version verlassen :-D) Der Punkt mit der Abgeschlossenheit von A unter der Vereinigung zweier Mengen ist auch noch sehr gut, da war ich zu voreilig. Ich denke ich habe damit alles zu dieser Aufgabe verstanden, werde aber alles nochmal durchgehen um sicher zu sein. Du hast mir erneut sehr gut geholfen und ich möchte mich ausdrücklich dafür bedanken, dass du auch auf meine Rückfragen immer eingehst und manche Dinge auch drei mal erklärst. Grüße, Husteguzel |
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