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Messbecher Kegelstumpf Zylinder
Schüler Gesamtschule, 10. Klassenstufe
Tags: kegelstumpf, Messbecher, Zylinder
 
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Aufgabe Die Firma X hat einen neuen Messbecher entworfen. Dieser besteht im unteren Teil aus einem Zylinder. Der obere Teil verbreitet sich in der Form eines Kegelstumpfes ab der Mitte des Bechers bis zum oberen Rand. Der Messbecher soll für 1,5 l konzepiert werden. a. Bestimme 3 geeignete Möglichkeiten für die konkreten Abmessung des Messbechers. Berücksichtige dabei auch weitere Anforderung, die an einen Messbecher gestellt werden könnten und erläutere diese b. gebt für alle 3 entwürfe die höhe der abmessungsmarkierung auf dem becher für 0.5liter 1, und 1,5 liter an Also mein Ansatz für die drei Messbecher wäre, einen beispielsweise etwas breiter, dadurch nicht so genau, aber handlicher für den privaten Gebrauch zu gestalten, einen anderen seh schmal, sehr genau, also fürs Labor oder ähnliches zu entwerfen. Ich wollte auch den Oberen Teil des Messbechers etwas grüßer kozepieren als er muss, damit das Wasser nicht bis zum Messbecherrand direkt steht. Nun meine Fragen: Wie berechne ich, dass das Wasser bei 1,5l nicht bis zum Rand steht und wie kennzeichne ich die Litermarkierungen im oberen Messbecherbereich? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Zylinder (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Soweit ist alles ok. Da du dir ja r (Radius Zylinder),R (Großer Radius Kegelstumpf) und h(Höhe des Bechers) wählen kannst (bzw eine dieser Größen von den anderen beiden abhängt), musst du dir erstmal überlegen, welche Größen du bestimmst. Danach kannst du dir eine Formel für das Volumen/Fassungsvermögen des Bechers aufstellen. Dazu erstmal die Formeln für das Volumen eines Zylinders: V(z)=pi*r^2*h/2 (h/2 weil der Zylinder bis zur Mitte des bechers geht) und für den Kegelstumpf: V(ks)=1/3*pi*h/2*(R+r)^2 Das Gesamtvolumen des Bechers setzt sich aus dem Volumen des Zylindrigen und dem Volumen des Kegeligen Teils zusammen, also: V(b)=V(z)+V(ks) Da der Becher 1,5 l /1500cm^3 Inhalt haben soll gilt: V(b)=1500=pi*r^2*h/2+1/3*pi*h/2*(r+r)^2 Mit dieser Formel und deinen beiden gewählten Größen kannst du jetzt die dritte ausrechnen (Ich empfehle r und R zu bestimmen und h zu berechnen; ist einfacher umzustellen). Die anderen Markierungen sind dann etwas komplizierter, da die Volumenformel für den Kegelstumpf vom großen Radius zum kleinen geht. Du musst also das Gesamtvolumen des Zylinders berechnen und dann vom Gesamtvolumen des Kegelstumpfs den Teil abziehen der nicht mehr benötigt wird: Geht mehr als 500 ml in den Zylinder, kannst du die Höhe für die Markierung einfach über 500=pi*r^2*H bestimmen. Liegt das Volumen über dem des Zylinders, berechnest du das Volumen des Kegelstumpfs und ziehst das nicht mehr benötigte ab: V(b)=1000: 1000-V(z)=V(ks)-V1(ks)=> 1000-V(z)-V(ks)=-1/3*pi*H*(R+r)^2 (gesuchtes Volumen-Zylindervolumen=gesuchtes Volumen im Kegelstumpf; gesuchtes Volumen im Kegelstumpf=Gesamtvolumen des Kegelstumpfs-das was zu viel ist[V1(ks)]) Das ganze wird dann nach H umgestellt. Die Höhe für dei Markierung ist dann bei h(Markierung)=h(Becher)-H. Als Beispiel: gewählt: r=5, R=7 dann ist h=13,03 V(z)=513 V(ks)=986 Markierung 500 ml: 6,36cm Markierung 1000 ml: 9,7 cm Hoffe mal es ist soweit verständlich. Kannst ja noch mal nachrechnen. |
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