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Metrik, Dreiecksungleichung

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Tags: Metrik

pi=3=e aktiv_icon

10:06 Uhr, 02.03.2019

Hi :-)

X = {{x_{i}}_{i \in ℕ} : x_{i} \in ℝ}, d ({x_{i}}, {y_{i}}) = \sum_{i = 0}^{\infty} min {| x_{i} - y_{i} |, 2^{- 1}}

Ich würde gerne zeigen, ob bei dieser "Metrik" die Dreiecksungleichung erfüllt ist oder nicht...
Die Summe konvergiert gegen

S \leq 2

.

zu zeigen (oder widerlegen):

\sum_{i = 0}^{\infty} min {| x_{i} - y_{i} |, 2^{- 1}} \leq \sum_{i = 0}^{\infty} min {| x_{i} - z_{i} |, 2^{- 1}} + \sum_{i = 0}^{\infty} min {| z_{i} - y_{i} |, 2^{- 1}}

Kann mir jemand helfen, das zu beweisen? Lieber nur Tipps anstelle der ganzen Lösung :-)!

Ganz liebe Grüsse

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:30 Uhr, 02.03.2019

Hallo,

zunächst soll es wohl

2^{- i}

heißen?

Du musst die Dreiecksungleichung für jeden Summanden einzeln nachweisen. Dazu kannst Du eine Fallunterscheidung machen.

1.

| x_{i} - y_{i} | \leq 2^{- i}

und

| y_{i} - z_{i} | \leq 2^{- i}

2. sonst...

Gruß pwm

pi=3=e aktiv_icon

13:24 Uhr, 02.03.2019

ja, sorry,

2^{- i}

Wenn

| x_{i} - z_{i} | > 2^{- i}

oder

| z_{i} - y_{i} | > 2^{- i} \Rightarrow

die Ungelichung ist erfüllt

Noch zu zeigen:

| x_{i} - z_{i} | \leq 2^{- i}

und

| z_{i} - y_{i} | \leq 2^{- i}

d . h

. also:

\sum_{i = 0}^{\infty} min {| x_{i} - z_{i} |, 2^{- 1}} + \sum_{i = 0}^{\infty} min {| z_{i} - y_{i} |, 2^{- 1}} = \sum_{i = 0}^{\infty} | x_{i} - z_{i} | + \sum_{i = 0}^{\infty} | z_{i} - y_{i} | \geq \sum_{i = 0}^{\infty} | x_{i} - y_{i} | = \sum_{i = 0}^{\infty} min {| x_{i} - y_{i} |, 2^{- 1}}

das letzte Gleichzeichen kann ich jedoch nicht begründen.....

ist das alles quatsch, was ich geschrieben habe?

Danke :-)

pi=3=e aktiv_icon

22:28 Uhr, 02.03.2019

Kann mir da jemand weiterhelfen? :-D) hab wirklich lange überlegt und sehe nicht, was ich falsch mache

: (

pwmeyer aktiv_icon

11:24 Uhr, 03.03.2019

Hallo,

ich hatte oben geschrieben, dass Du die benötigte Ungleichung für jeden Summanden einzeln nachweisen musst - weil die Bedingung für die Fall-Unterscheidung vom Index abhängig sein kann.

Wenn man das macht, dann wäre für das letzte Gleichheitszeichen bei Dir ein

\geq

zu verwenden, mit der Begründung:

a \geq min {a, b}

.

Gruß pwm

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