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Metrikkoeffizienten bei Zylinderkoordinaten

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Tags: g11=g22, metrikkoeffizienten, variablenwechsel, Zylinderkoordinaten

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13:32 Uhr, 26.01.2014

Servus,

Ich hab letztens gelesen, dass es bei Zylinderkoordinaten immer möglich ist einen "change of variable" durchzuführen, so dass für die Metrik Koeffizienten gilt

g 11 = g 22

.
Leider wurde nicht näher beschrieben wie das gehen soll und auch kein Beispiel angegeben.

Für die Zylinderkoordinaten (mit kreisförmiger Grundfläche) gilt ja beispielsweise

x = r cos (b)

y = r sin (b)

z = z

Für die metrikkoeffizienten folgt somit

g 11 =

(dx/dr)^2

+

(dy/dr)^2

+

(dz/dr)^2

= 1

g 22 =

(dx/db)^2

+

(dy/db)^2

+

(dz/db)^2

= r^{2}

g 33 = 1

Wie kann man jetzt die variablen transformieren (?), dass man auf

g 11 = g 22

kommt?
(es geht nur um

g 11

und

g 22)

Vielen dank schonmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

OmegaPirat

15:28 Uhr, 26.01.2014

Ein Linienelement ist in Zylinderkoordinaten gegeben durch:

d s^{2} = d r^{2} + r^{2} \cdot d φ + d z^{2}

nun gehen wir in neue koordinaten

r \to r'

φ \to φ'

z \to z'

über
Dann transformiert sich dies zu

d s^{2} = \frac{\partial r}{\partial r'} \cdot d r' + r^{2} \cdot \frac{\partial φ}{\partial φ'} \cdot d φ' + \frac{\partial z}{\partial z'} \cdot d z'

Nun wird gefordert, dass

\frac{\partial r}{\partial r'} = r^{2} \cdot \frac{\partial φ}{\partial φ'}

Bei jeder Transformation, die diese Gleichung erfüllt, sind die beiden metrischen Koeffizienten gleich.
Als Beispiel können wir mal eine Transformation wählen bei der sich die radialkoordinate nicht ändert, also

r = r'

Dann wird aus der Gleichung

\frac{\partial φ}{\partial φ'} = \frac{1}{r'^{2}}

\Rightarrow φ = \frac{φ'}{r'^{2}} + K

mit

K \in ℝ

Du kannst nachprüfen, dass bei dieser Transformation

g_{11} = g_{22} = 1

ist.

bibbler aktiv_icon

17:49 Uhr, 26.01.2014

Danke für die schnelle Antwort.

Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich alles richtig verstanden hab.
Ich habs jetzt mal mit

x = r cos (\frac{φ}{r^{2}})

y = r sin (\frac{φ}{r^{2}})

versucht aber damit komm ich auf

g 11 = 1 + 4 \frac{φ}{r^{4}}

g 22 = \frac{1}{r^{2}}

Kanns sein, dass die Transformation nicht ganz richtig ist, weil

φ

ist dann ja

φ = φ (r', φ')

und die Transformation des Linienelements sieht so aus als wär nur

φ (φ')

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10:13 Uhr, 31.01.2014

Keiner eine Idee?

bibbler aktiv_icon

10:05 Uhr, 07.02.2014

So falls es noch jemand interessiert, ich hab jetzt endlich eine Lösung gefunden:

mit der Substitution

r' = e^{r}

funktioniert es.
Die Metrik Koeffizienten sind dann

g 11 = g 22 = e^{2 r}

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