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Metrik, Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Metrik, Stetigkeit

Fabienne- aktiv_icon

21:59 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

ich habe gerade ein Problem mit dieser Aufgabe :(

Sei

(X, d)

ein metrischer Raum und

A \subseteq X

nicht leer. Zeigen Sie, dass

d_{A} : X \to [0, \infty)

x \mapsto inf_{a \in A} d (x, a)

die Ungleichung

∣ d_{A} (x) - d_{A} (y) ∣ \leq d (x, y)

für alle

x, y \in X

erfüllt und insbesondere stetig ist.

Zu erst habe ich eine Frage zu der Abbildung.
Wie genau funktioniert diese?

Ich wähle mir also eine nicht leere Teilmenge

A

von

X

und ein

x \in X

.
Gibt mir meine Abbildung dann das

a \in A

an, für welches d(x,a) nun minimal ist (bzw. eben das Infimum wenn ein Minimum nicht existiert), oder wie muss ich mir das vorstellen?
Es könnte hier dann ja passieren, dass es

a_{1}, a_{2} \in A

gibt mit

d (x, a_{1}) = d (x, a_{2})

, die Funktion also nicht eindeutig ist.

Oder wähle ich das

a

im Vorfeld und bestimme dann das Infimum zu diesem gewählten a?

Vielen Dank im voraus. <3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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01:02 Uhr, 02.11.2015

Hi Fabienne,

deine Funktion misst salopp gesagt den Abstand eines Punktes

x

zu der Menge A.
Was dir die Funktion liefert ist allerdings nicht das a für welches

d (x, a)

"minimal" wird,
was sonst genau auf die von dir beschriebenen Probleme führen würde, sondern den "minimalen" Abstand.
Damit tritt dann auch das obige Problem nicht auf.

Hinweis zur Aufgabe:
Beachte dass inf(d(x,a))

\leq

inf(d(x,y)+d(y,a)) aufgrund der Dreiecksungleichung gilt.

Gruß PhantomV

Fabienne- aktiv_icon

01:16 Uhr, 02.11.2015

Hey,

vielen Dank für deine Rückmeldung.

Fabienne- aktiv_icon

01:57 Uhr, 02.11.2015

Hi,

ich habe nun etwas rumprobiert, aber leider komme ich trotzdem nicht weiter. :(

Fabienne- aktiv_icon

02:24 Uhr, 02.11.2015

Moment, kann ich das vielleicht so machen:

∣ inf (d (x, a)) ∣ \leq ∣ inf (d (x, y) + d (y, a) ∣ \leq ∣ inf (d (x, y) ∣ + ∣ inf (d (y, a) ∣

subtrahiere ich nun

∣ inf (d (y, a) ∣

, dann erhalte ich

∣ inf (d (x, a)) ∣ - ∣ inf (d (y, a) ∣ \leq ∣ inf (d (x, y) ∣

Die Metrik ist eh immer nicht negativ, also kann ich den Betrag weglassen und das Infimum nach oben durch d(x,y) abschätzen, also

∣ inf (d (x, a)) ∣ - ∣ inf (d (y, a)) ∣ \leq d (x, y)

Nun kann ich

∣ inf (d (x, a)) ∣ - ∣ inf (d (y, a)) ∣

mit der Dreiecksungleichung nach unten abschätzen, also

∣ inf (d (x, a)) - inf (d (y, a)) ∣ \leq d (x, y)

Edit:

Entschuldigung, das es so schrecklich zum lesen aussieht. :(
Ich würde es gerne schöner darstellen, aber ich weiß nicht wie...

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02:32 Uhr, 02.11.2015

Hier sollte man beachten worüber das Infimum gebildet wird, nämlich über alle

a \in A

.
Damit ist also inf(

d (x, y) + d (y, a)) =

d(x,y)+inf(d(y,a)). Betragsstriche kann man oben auch weglassen, da immer

\geq 0

Fabienne- aktiv_icon

02:40 Uhr, 02.11.2015

Ahh, das macht es natürlich einfacher.

Also einfach so

inf (d (x, a)) \leq inf (d (x, y) + d (y, a))

mit der Dreiecksungleichung

inf (d (x, a)) \leq inf (d (y, a)) + d (x, y)

da das Infimum über

a \in A

gebildet wird.

inf (d (x, a)) - inf (d (y, a) \leq d (x, y)

Ich sehe nun aber nicht woher ich auf der linken Seite die Betragsstriche bekomme.
Deshalb hatte ich sie in meinem Versuch auch direkt verwendet.
Es sollte ja nicht ohneweiteres

∣ inf (d (x, a)) - inf (d (y, a) ∣ \leq inf (d (x, a)) - inf (d (y, a)

gelten.

Ein einfaches Gegenbeispiel ist etwa

inf (d (x, a)) = 1

inf (d (y, a)) = 2

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02:48 Uhr, 02.11.2015

Das oben stimmt. Nun folgt daraus aber auch dass
inf

(d (y, a)) -

inf

(d (x, a)) \leq d (y, x) = d (x, y)

ist (nur eine Frage der Bezeichner!).
Damit erhält man dann auch die Betragsstriche. Deine Ungleichung unten stimmt
natürlich nicht und du hast auch gleich ein Gegenbeispiel angegeben ;-)

Fabienne- aktiv_icon

02:50 Uhr, 02.11.2015

Ja, das mit dem umbenennen der Bezeichner habe ich auch schon probiert, nur verstehe ich den Unterschied nicht.

Es kommt mir so vor als würde ich es dann einfach so wählen, dass es passt. Aber das sollte ja nicht der Fall sein, oder?
Bzw. würde mir dann nicht klar sein wieso ich es mir so wählen kann, dass es passt wenn es ja mit der anderen Wahl der Bezeichner nicht stimmen würde.
Das Ergebnis sollte davon aber doch unabhängig sein.

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02:57 Uhr, 02.11.2015

Vllt ging das etwas unter. Wir zeigen zwei Gleichungen:
1. inf(d(x,a)) - inf(d(y,a))

\leq d (x, y)

2. inf(d(y,a)) - inf(d(x,a))

\leq d (y, x)

Die 2. folgt direkt aus der 1. aus obigen Gründen. Wenn dir das nicht klar ist,
versuche die 2. Gleichung einfach nochmal analog zu zeigen wie die 1. Das ist im
Prinzip genau das gleiche nur eben mit den Bezeichnern vertauscht.

Aus 1. und 2. erhält man dann:
|inf(d(x,a)) - inf(d(y,a))|

\leq d (x, y)

Fabienne- aktiv_icon

03:03 Uhr, 02.11.2015

Doch, wie man auf die zweite Gleichung kommt kann ich nachvollziehen.
Aber leider immer noch nicht, wo nun die Beträge herkommen.... :(

Edit:

Ach, ich bin blöd... Doch, ich habe es nun verstanden.
Wenn 1. und 2. Gleichzeitig gelten, dann ist das äquivalent dazu, wie wenn ich Betragsstriche setze.

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03:05 Uhr, 02.11.2015

So ist es.

Fabienne- aktiv_icon

03:08 Uhr, 02.11.2015

Ok, vielen Dank.

Kannst du mir auch noch dabei helfen die Stetigkeit zu zeigen?
Ich bin nicht ganz im klaren wie die Stetigkeit für metrische Räume nun definiert ist.
Natürlich habe ich bereits gegoogelt, aber nur eine Definition gefunden, welche die Stetigkeit zwischen zwei metrischen Räumen behandelt.

Ich bin mir nicht sicher, ob das die Standard-Definition ist.

Wahrscheinlich ist es hier aber ohnehin nicht ratsam es mit der Definition zu machen.

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03:09 Uhr, 02.11.2015

Sagt dir Lipschitz-stetig was?

Fabienne- aktiv_icon

03:10 Uhr, 02.11.2015

Ja, ich kenne die Lipschitz-Stetigkeit.

Fabienne- aktiv_icon

03:11 Uhr, 02.11.2015

Ah,

es sollte direkt folgen, dass die Funktion Lipschitzstetig ist, mit Lipschitzkonstante L=1

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03:11 Uhr, 02.11.2015

Dann solltest du das eigentlich leicht zeigen können. Wie hängen Lipschitz-Stetigkeit und Stetigkeit zusammen?

Fabienne- aktiv_icon

03:15 Uhr, 02.11.2015

Das weiß ich leider nicht mehr.

Wenn ich mich recht entsinne, dann ist die Funktion

f : ℝ^{+} \to ℝ^{+}

mit

f (x) = \sqrt{x}

zwar stetig, aber nicht Lipschitz-stetig.

Dann sollte die Beziehung f Lipschitz-stetig

\Rightarrow

f stetig, also nicht gelten.

Edit: Wobei das ja auch quatsch ist, was ich gerade geschrieben habe.
Mein Beispiel (wenn es überhaupt richtig ist) wiederlegt die Beziehung ja nicht.

PhantomV aktiv_icon

03:17 Uhr, 02.11.2015

Doch genau die Beziehung gilt. Dein Beispiel zeigt nur das die umgekehrte Richtung nicht gilt.
Lipschitz-Stetigkeit ist stärker als "normale" Stetigkeit.

Fabienne- aktiv_icon

03:19 Uhr, 02.11.2015

Ja, das ist mir im Nachhinein auch noch aufgefallen, dass es nur die umgekehrte Richtung widerlegt.

War mein Beispiel denn korrekt?

Dann folgt die Stetigkeit nun also direkt, weil ich weiß, dass meine Funktion Lipschitz-stetig ist. Wenn man das noch im Gedächtnis hat, dann ist es ja ganz einfach. :-)

Ich weiß, dass es da eine größere Kette von Beziehungen gibt, mit gleichmäßiger Konvergenz etc.
Könntest du mir die vielleicht noch einmal aufschreiben, damit ich mir das mal merken kann?

Das wäre wirklich nett.

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03:24 Uhr, 02.11.2015

Lipschitz-stetig

\Rightarrow

Gleichmäßig stetig

\Rightarrow

stetig
Umkehrungen gelten nicht, wenn dir mal langweilig ist finde Gegenbeispiele ;-)

Ob die Wurzelfunktion Lipschitz-stetig ist kommt auf den Definitionsbereich an.
Was gilt wann?

Fabienne- aktiv_icon

03:27 Uhr, 02.11.2015

Vielen Dank, dass du mir geholfen hast.
Das war wirklich toll!

Ich bin jetzt leider aber auch zu müde um weiter nachzudenken. :-)

Gute Nacht und nochmals vielen Dank! <3

PhantomV aktiv_icon

03:29 Uhr, 02.11.2015

Denke auch für heute reichts. Gute Nacht :-)

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