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Metrik zeigen / beweisen

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Tags: Metrik, metrischer Raum

uLtRa1 aktiv_icon

10:45 Uhr, 17.06.2012

Hallo zusammen,
Aufgabenstellung: Gegeben:

(M, d)

metrischer Raum
Zu zeigen:

d_{2}

ist auch eine Metrik auf

M

mit

d_{2} (x, y) := \frac{d (x, y)}{1 + d (x, y)}

(i)

d_{2} (x, y) \geq 0

und

d_{2} (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y

\frac{d (x, y)}{1 + d (x, y)} = 0

|multiplizieren mit

(1 + d (x, y)

\Leftrightarrow \frac{d (x, y)}{1} = 0

\Leftrightarrow d (x, y) = 0

\Rightarrow

d (x, y)

eine Metrik ist, folgt

x = y

(richtig ??)

Wie zeige ich jetzt

d_{2} (x, y) \geq 0

?

(ii)

d_{2} (x, y) = d_{2} (y, x)

d_{2} (x, y) = \frac{d (y, x)}{1 + d (y, x)} |

d

eine Metrik ist, gilt

d (x, y) = d (y, x)

\Leftrightarrow d_{2} (x, y) = \frac{d (y, x)}{1 + d (y, x)} |

multiplizieren mit

d (y, x) + 1

\Leftrightarrow d_{2} (x, y) = d_{2} (y, x)

Ist das so richtig?

(iii)
Ich weiß absolut nicht, wie ich das mit der Dreiecksungleichung zeigen soll. Würde mich über jede Hilfe freuen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

13:28 Uhr, 17.06.2012

(i)

Richtig.
Allerdings fehlt noch der (einfache) Nachweis von

d_{2} (x, y) \geq 0

(ii) Multiplikation mit

d (x, y) = 1

ist hier nicht erforderlich/zielführend.

d_{2} (x, y) = \frac{d (x, y)}{1 + d (x, y)} = \frac{d (y, x)}{1 + d (y, x)} = d_{2} (y, x)

- -

Man kann auch allgemeiner (und teilweise dadurch sogar übersichtlicher!) betrachten:
Sei

f : ℝ_{\geq 0} \to ℝ_{\geq 0}

eine Abbildung mit
(a)

f (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0

(b)

x \geq y \Rightarrow f (x) \geq f (y)

(schwach monoton steigend)
(c)

f (x + y) \leq f (x) + f (y)

Dann ist mit

d

auch

d_{2} = f \circ d : (x, y) \mapsto f (d (x, y))

eine Metrik auf M.
(In der Aufgabenstellung ist

f (x) = \frac{x}{1 + x},

für das man die Eigenschaften

(a), (b), (c)

leicht überprüft)

Zum Nachweis, dass

d_{2} = f \circ d

eine Metrik ist:
(i)

d_{2} (x, y) \geq 0

per Wertebereich

ℝ_{\geq 0}

von

f

.
Es ist

d_{2} (x, y) = 0 \Leftrightarrow f (d (x, y)) = 0 \Leftrightarrow d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y

per

(a)

(ii)

d_{2} (x, y) = f (d (x, y)) = f (d (y, x)) = d_{2} (y, x)

(iii) Seien

x, y, z \in M

gegeben. Dann

d_{2} (x, z) = f (d (x, z))

\leq f (d (x, y) + d (y, z))

per Dreiecksungleichung für

d (,)

\leq f (d (x, y)) + f (d (y, z))

per

(c)

= d_{2} (x, y) + d_{2} (y, z)

uLtRa1 aktiv_icon

13:37 Uhr, 17.06.2012

Besten Dank hagman!!! :-)

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