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Metriken definieren gleiches Mengensystem

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Clemensum aktiv_icon

16:46 Uhr, 16.07.2012

Seien

(X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2})

metrische Räume. Weiters sei

x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2}) .

Man zeige nun, dass die Metriken

d ʹ (x, y) : = d_{1} (x_{1}, y_{1}) + d_{2} (x_{2}, y_{2})

d ʺ (x, y) := \sqrt{(d_{1} (x_{1}, y_{1}))^{2} + (d_{2} (x_{2}, y_{2}))^{2}}

d ‴ (x, y) := m a x {d_{1} (x_{1}, y_{1}), d_{2} (x_{2}, y_{2})}

dasgleiche System offener Mengen definieren.

Offenbar muss ich hier folgendes zeigen:
Sei

(X, d)

ein metrischer Raum.

O_{d}

sei das System der bzgl.

d

offenen Teilmengen von

X

.
Mit den gegebenen drei

d ʹ, d ʺ, d ‴

Metriken habe ich also zu zeigen:

O_{d ʹ} = O_{d ʺ} = O_{d ‴} .

Frage: Wie weiß ich, wie mit einer Metrik

d_{1}

das zugehörige System der offenen Mengen aussieht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

09:59 Uhr, 17.07.2012

Hallo,

eignetlich geht's darum zu zeigen, dass die Metriken äquivalent sind. Zwei Metriken

d_{1}

und

d_{2}

auf derselben Grundmenge

X

heißen äquivalent, wenn es zwei Konstanten

k, l \geq 0

gibt mit

d_{1} (x, y) \leq k \cdot d_{2} (x, y)

und

d_{2} (x, y) \leq l \cdot d_{1} (x, y)

für alle

x, y \in X

.
Damit kann man in allen

ε

-Beweisen die eine Metrik gegen die andere abschätzen, woraus folgt, dass beide Metriken die gleichen offenen (und abgeschlossenen) Mengen induzieren.

Mfg Michael

Clemensum aktiv_icon

13:06 Uhr, 17.07.2012

Danke für deine Antwort, Michael!

Ich habe jedoch eine Rückfrage:
Und zwar, wundere ich mich, was die Motivation für die Definition der Äquivalenz zwischen zwei Metriken war, ich meine, wie kam man auf diese Definition?

Wieso folgt, wenn Metriken diese Bedingung erfüllen, dass sie dann äquivalent sind? Als Naiver würde man glauben äquivalent hieße Gleichheit, was aber absurd erscheint.

Ich würde mich freuen, wenn du mir noch kurz den Sinn dieser Definition erklären würdest, d.h., warum dies auch wirklich die Äquivalenz definiert (also warum man nicht irgend eine andere Definition als die Definition für die Äquivalenz zweier Metriken nehmen könnte)

michaL aktiv_icon

13:58 Uhr, 17.07.2012

Hallo,

seien

(X, d_{1})

und

(X, d_{2})

zwei metrische Räume mit äquivalenten Metriken, d.h. es exisitieren

k, l > 0

mit

d_{1} (x, y) \leq k \cdot d_{2} (x, y)

und

d_{2} (x, y) \leq l \cdot d_{1} (x, y)

.

Behauptung: Jede bzgl.

d_{1}

offene Menge ist auch bzgl.

d_{2}

offen.
Beweis: Sei

U

eine bzgl.

d_{1}

offene Menge, d.h. für alle

x \in U

ex. ein

ε_{1} > 0

, sodass für alle

y \in B_{ε_{1}} (x) = {z \in X ∣ d_{1} (x, z) < ε_{1}}

gilt:

y \in U

.

Zu zeigen:

\forall x \in U \exists ε_{2} > 0

B_{ε_{2}} (x) \subseteq U

.
Nimm für

ε_{2} := \frac{ε_{1}}{l}

. (Rest überlass ich dir!)

Mfg Michael

Clemensum aktiv_icon

09:57 Uhr, 18.07.2012

So, nun mein Versuch:

Sei

δ U := {z \in U : z \in U \land z \notin U °}

Sei

x \in U

bel. mit

d_{1} (x, y) < ε \forall y \in δ U

Zeige nun:

\forall x \in U \exists ɛ_{2} > 0 : d_{2} (x, y) < ɛ \forall y \in δ U

Nun wissen wir:

d_{2} (x, y) \leq l d_{1} (x, y) < l ɛ .

Aber hier ist es doch egal wie ich mein

ɛ_{2}

wähle, ich kann mir doch nie sicher sein, dass auch tatsächlich

d_{2} (x, y) < ε_{2}

ist, oder irre ich mich etwa?

hagman aktiv_icon

20:00 Uhr, 18.07.2012

Vielleicht ist hier die ursprüngliche Aufgabenstellung aus den Augen verloren worden.
Die dort gegebenen

d_{1}

und

d_{2}

sind ja keineswegs als äquivalent vorausgesetzt (zumal auf verschiedenen Räumen definiert).

Was wollen wir jetzt erst einmal untersuchen?

1)

Zwei äquivalente Metriken auf einem Raum definieren dieselbe Topologie

2)

Die Metriken

d', d'', d'''

auf dem Raum

X_{1} \times X_{2}

der Aufgabenstellung sind äquivalent

3)

Die Metriken

d', d'', d'''

der Aufgabenstellung definieren auf dem Raum

X_{1} \times X_{2}

dieselbe Topologie
?
Nummer

1)

ist ein allgemeiner Satz, von dem angesichts der Aufgabenstellung eigentlich anzunehmen ist, dass ihr ihn gerade in der Vorlesung bewiesen habt.
Nummer

3)

entspricht unmittelbar der gestellten Aufagbe.
Nummer

2)

ist der geeignete Weg zum Lösen der Aufgabe:

d''' (x, y) \leq d'' (x, y) \leq d' (x, y) \leq 2 d''' (x, y)

Clemensum aktiv_icon

21:40 Uhr, 18.07.2012

Beweis mit Ringschluss:
(i)

c_{1} (a + b) \geq \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Wähle

c_{1} = 1

(ii)

m a x {a, b} \leq c_{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Wähle ebenfalls

c_{2} = 1

(iii)

a + b \leq c_{3} m a x {a, b}

??? Offenbar gibt es kein

c_{3},

sodass

\frac{a + b}{b} \leq c_{3}

Wie kann dann Äquivalenz gelten??

hagman aktiv_icon

23:11 Uhr, 18.07.2012

a \leq max {a, b}

und

b \leq max {a, b},

also

a + b \leq max {a, b} + max {a, b} = 2 max {a, b}

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