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Pseudometriken

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Funktionalanalysis

Tags: Metrik, metrischer Raum, Pseudometrik, Topologie

 
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FarrahFowler

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20:38 Uhr, 07.05.2015

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Hallo zusammen :-)

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei X≠∅ und d:X×X→ℝ eine Pseudometrik, dh. für alle x,y,z∈X gilt:

a)d(x,x)=0
b)d(x,z)≤d(x,y)+d(z,y).

Zeigen Sie, dass eine Pseudometrik genau dann eine Metrik auf X ist, wenn stets aus d(x,y)=0,x=y folgt.

Wenn ich das richtig verstehe, müsste ich also noch die Symmetrie und die Positivität beweisen. Also für alle x,y∈X gilt d(x,y)=d(y,x) und d(x,y)≥0.

Aber wie soll ich das beweisen, wenn ich gar keine Pseudometrik vorgegeben hab? Habe gerade überhaupt keine Idee. Kann mir dazu vielleicht jemand einen Denkanstoß geben?

Vielen Dank! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pwmeyer

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17:27 Uhr, 08.05.2015

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Hallo,

Du sollst in der Tat allgemein zeigen: Aus a) und b) folgen Symmetrie und Positivität.

Das ist trivial. Es gibt nur einen Weg, wie Du aus a) und b) überhaupt irgendeine Aussage herleiten kannst.

Gruß pwm
FarrahFowler

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19:27 Uhr, 08.05.2015

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Hmm, aber wie soll ich denn aus den beiden Eigenschaften, die mir gegeben sind, Symmetrie und Positivität folgern? Ist mir gerade nicht ganz so klar...
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pwmeyer

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19:46 Uhr, 08.05.2015

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Setz doch mal in b)y=x
FarrahFowler

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20:52 Uhr, 08.05.2015

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Dann hätte ich d(x,z)≤d(z,x) bzw d(y,z)≤d(z,y)...
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Shipwater

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21:10 Uhr, 08.05.2015

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Naja es macht keinen Sinn nun 3 Variablen zu betrachten, belasse es bei x und z. Ziel ist sowas wie a≤b und b≤a herauszubekommen was ja a=b impliziert.
FarrahFowler

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12:09 Uhr, 11.05.2015

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Hmm also ich setze y=x, dann erhalte ich d(x,z)≤d(z,x)... aber ich sehe leider nicht, was ich davon habe :(
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pwmeyer

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12:47 Uhr, 11.05.2015

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Hallo,

Du hast:

∀x,z∈X:d(x,z)≤d(z,x)

also auch d(z,x)≤d(x,z)

Zusammen: d(x,z)=d(z,x).

Gruß pwm
FarrahFowler

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12:53 Uhr, 11.05.2015

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Achso, also innerhalb dieser Metrik kann ich die Tupel einfach vertauschen? Dachte für d(x,z)≤d(z,x) folgt auch d(z,x)≤d(x,z) ist gerade das, was ich zeigen muss..? Scheinbar verstehe ich mal wieder etwas falsch^^
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Shipwater

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13:15 Uhr, 11.05.2015

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Du nimmst dir 2 beliebige Elemente x,z∈X her. Dann folgt einmal d(x,z)≤d(x,x)+d(z,x)=d(z,x) und aber auch d(z,x)≤d(z,z)+d(x,z)=d(x,z) also sogar d(x,z)=d(z,x). Namen sind Schall und Rauch!
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FarrahFowler

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18:12 Uhr, 11.05.2015

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Ja alles klar, vielen Dank :-D)
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Shipwater

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12:11 Uhr, 12.05.2015

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Positivität solltest du nun auch schnell folgern können.