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Metrischer Raum, diskrete Metrik, kompakte Mengen
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Mengentheoretische Topologie
 
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Hallo, habe folgende Aufgabe: metrischer Raum, wobei die diskrete Metrik bezeichnet. Bestimmen Sie (mit Begründung) alle kompakten Mengen in X. Ich verstehe leider nicht wie ich hier vorgehen soll. Welche Mengen sind denn in überhaupt kompakt? Danke im Voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, überlege, ob einpunktige Mengen abgeschlossen und / oder offen sind und benutze die Überdeckungseigenschaft, mit der ja Kompaktheit definiert ist. Gruß ermanus |
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Entschuldige meine verspätete Antwort zu dieser späten Uhrzeit! Bin mir eigentlich sicher, dass sie offen sind, da egal wie klein der Radius um das Element ist, die Kugel enthält ja dann trotzdem ein Element was automatisch nicht in der Menge liegt. Was die Abgeschlossenheit bin ich mir unsicher.. Und worauf du mit der Überdeckungseigenschaft hinaus möchtest, ist mir zwar in gewisser Weise klar, aber nicht so wirklich wie ich es umsetzen soll. Dennoch danke. |
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Ja, die einpunktigen Mengen sind offen; denn eine offene Kugel (offener Ball) mit Radius und Mittelpunkt in einem metrischen Raum ist offen, enthält in unsrem Falle aber nur den Punkt x. Ist nun irgendeine Menge , so ist eine offene Überdeckung von . Wenn kompakt ist, enthält diese eine endliche Teilüberdeckung: , d.h. ist endlich. Gruß ermanus |
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