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Metrischer Raum ohne isolierte Punkte
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Analysis, Funktionalanalysis, MATH, Mathematik, Metrische Räume
 
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anonymous 17:02 Uhr, 20.05.2021  |
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Hallo! Sei ein Metrischer Raum. Ein Punkt heißt isolierter Punkt, falls offen in ist. Nun möchte ich zeigen (am besten unter Benutzung des Baireschen Satzes), dass jeder vollständige metrische Raum ohne isolierten Punkt überabzählbar ist. Mein Ansatz: Sei eben ein vollständiger metrischer Raum ohne isolierten Punkt. Angenommen ist abzählbar, dann kann man folgendermaßen darstellen: . Und diese sind dann abgeschlossen. Also kann man den Satz von Baire anwenden. Mit dem Satz von Baire gibt es also ein sodass wobei das Innere der Menge ist. Jetzt kommt der Punkt wo ich mir nicht so ganz sicher bin: nicht leeres Inneres bedeutet mindestens ein Punkt im Inneren. Die Menge hat aber nur einen Punkt und somit und das wiederum bedeutet ist offen also ist isolierter Punkt. Wiederspruch...? Außerdem frage ich mich wieso vollständig sein muss... Ich suche vergebens nach einem Beispiel, dass zeigt, dass man hier nicht auf Vollständigkeit verzichten muss... Danke und LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Ich suche vergebens nach einem Beispiel, dass zeigt, dass man hier nicht auf Vollständigkeit verzichten muss..." Die Menge der rationalen Zahlen mit dem gewöhnlichen Abstand als Metrik ist so ein Beispiel. |
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"Die Menge {x} hat aber nur einen Punkt und somit {x}o={x} und das wiederum bedeutet {x} ist offen also ist x isolierter Punkt. Wiederspruch...?" Ja, was lässt dich daran zweifeln? |
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anonymous 17:41 Uhr, 20.05.2021 |
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Danke für die Antwort. Also betrachte mit . Dann hat keinen isolierten Punkt, aber ist abzählbar. Denn sei . Angenommen wäre offen, dann existiert ein sodass . Aber . So in etwa wäre das die Begründung oder? Und ja es stimmt: Ich kann auch nicht recht erklären wieso mir da Zweifel aufkommen... Naja danke jedoch für die Bestätigung! |
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