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Mignotte Schranke

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

Stochastikerin

14:51 Uhr, 08.02.2025

Hallo,

ich bin aktuell am Thema der Faktorisierung von Polynomen und beschäftige mich gerade mit der Mignotte Schranke.
Wenn wir ein Polynom mit Koeffizienten in

Z

faktorisieren, dann kann mit Hilfe der Schranke etwas über die Größe der Koeffizienten ausgesagt werden.
Im Anhang habe ich einmal einen Screenshot aus dem Lehrbuch angehangen.
Meine erste Frage bezieht sich direkt auf die Normen.

Wenn ich beispielsweise das Polynom

f

aus

ℤ [x]

habe mit

f = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 4 x^{2} + 4

Und nun bestimme ich die Normen

{| | f | |}_{1}, {| | f | |}_{2}

und

{| | f | |}_{max},

dann habe ich:

{| | f | |}_{1} = 2 + 3 + 4 + 4 = 14

{| | f | |}_{2} = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{45} (\leq 14)

{| | f | |}_{max} = 4

Nun gilt aber folgende Ungleichung:

{| | f | |}_{max} \leq {| | f | |}_{1} \leq {| | f | |}_{2}

Wo ist hier mein Rechenfehler, da

{| | f | |}_{1} > {| | f | |}_{2}

.

Als nächstes folgendes: Die Mignotte Schranke

M

hilft uns zum Vereinfachten Finden der Faktoren. Diese liegen dann im Bereich

(- M, M)

. Allerdings verstehe ich nicht, wie genau nun die Mignotte Schranke zu berechnen ist..

Ebenso die folgende Frage: Warum reicht es in der Praxis nicht aus, einfach alle möglichen Faktoren auszuprobieren? Ich bin etwas über den Satz im Buch "Im Prinzip ist das Finden......, selbst für einen Rechner" gestolpert.

Es wäre super, wenn mir jemand dabei helfen könnte.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Stochastikerin

15:01 Uhr, 08.02.2025

Hier noch ein Bild zur Ungleichung

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15:16 Uhr, 08.02.2025

Erstmal ist

{∥ f ∥}_{1} = 13

.
Und dann stimmt die Ungleichung nicht. Es gilt

{∥ f ∥}_{1} \leq \sqrt{n} \cdot {∥ f ∥}_{2}

, und das ist hier erfüllt. Schau z.B. hier de.wikipedia.org/wiki/P-Norm#%C3%84quivalenz

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15:52 Uhr, 08.02.2025

vorerst wieder gelöscht...

Stochastikerin

16:28 Uhr, 08.02.2025

13

stimmt natürlich. Dennoch wurde die Gleichung so thematisiert.. siehe 2. Screenshot.
Ich habe eine Vermutung: liegt es vielleicht daran, dass

f

primitiv ist? (Ich bin gerade unterwegs, weshalb ich es erst heute Abend überprüfen kann)
Wie allerdings wird denn nun final die Mignotte Schranke berechnet? Ich finde stets nur Abschätzungen. Aber wenn ich ein Polynom

f

habe, wie bestimme ich dann die Mignotte Schranke und wie ist diese dann zu lesen/was gibt sie final an?
Gerne mit leichtem Beispiel

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16:53 Uhr, 08.02.2025

Die Ungleichung stimmt eben nicht. In der Mitte der Seite steht "Sei

f \in C [x]

", also ist das allgemein gemeint (nichts mit primitiv in

Z [x]

).
Abschätzungen liefern ja Schranken, diese steht in der ersten Ungleichung rechts. Dazu muss man aber noch was über das

b_{k}

wissen, was aus dem zweiten Teil kommt. Das habe ich noch nicht durchgedacht (und daher meinen vorigen Kommentar wieder gelöscht).

Stochastikerin

16:59 Uhr, 08.02.2025

video.uni-mainz.de/Panopto/Pages/Embed.aspx?id=d085c0c2-be69-496d-81da-abbb00bfb1fc

Hier habe ich die Info her

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17:15 Uhr, 08.02.2025

Ändert nichts daran, dass es falsch ist. In der Erklärung sagt er klar, dass das allgemein gemeint ist und dass man diesen Teil der Abschätzung durch Quadrieren sieht. Stimmt aber nicht.
Es ist nicht alles richtig, was in Videos, Büchern, Skripten usw. steht.
Übrigens muss der Vorfaktor

\sqrt{n + 1}

lauten (nicht

\sqrt{n}

, wie ich oben schrieb), denn der Polynomraum hat ja

\dim = n + 1

.
Schau mal hier: en.wikipedia.org/wiki/Landau-Mignotte_bound
da stehen die Ungleichungen richtig und auch, wie man die Schranke findet ("basic version"). Und diese "basic version" wird auch im Video erklärt (schreibt er mit Hand daneben).

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