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Mindestwahrscheinlichkeit Urnen-Aufgabe Bernoulli

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Stochastik

anonymous

10:46 Uhr, 16.05.2019

Aufgabe:

Aus einer Urne werden Kugeln gezogen, die direkt zurück gelegt werden.

a)

Die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, liegt bei

25 %

. Wie oft muss hintereinander eine Kugel gezogen werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens

90 %

beträgt, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen?

b)

Die Anzahl der Kugeln wird nun verändert. Bei

20

Kugeln (ebenfalls mit zurücklegen) soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 8 blaue Kugeln gezogen werden, bei mindestens

60 %

liegen. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel auf 4 Nachkommastellen.

Meine Ideen:

a)

Das bekomme ich noch raus mittels der Formel die uns bekannt ist:

n \geq \frac{ln (1 - 0,9)}{ln (1 - 0.25)}

n \geq 8.0039

Also muss mindestens 9 mal gezogen werden, da eben exakt 8 nicht ausreichen würde. Geht das auch irgendwie ohne das ich die Formel kenne? Im Falle eines Blackouts, das ich mir das mit einer Umstellung herleite?

b)

Bei

b

bin ich ehrlich gesagt auf verlorenem Posten.

Ich kann zwar berechnen

P (x \geq 8) = 10,2 %

aber das hilft mir irgendwie nicht weiter? Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 8 blaue Kugeln liegt ja bei

10,2 %

und nicht bei

60 %

.

Wir nutzen den Casio FX CG

20,

hab auch ein bisschen mit den Binominalfunktionen gespielt, aber komme da auf kein vernünftiges Ergebnis.

Mein weitere Ansatz (kann kompletter BLödsinn sein) sieht so aus:

P (x \geq 8) \geq 60 %

Damit würde ich ausdrücken, dass ja mindestens 8 blaue Kugeln zu ziehen von den

20

eine Mindestwahrscheinlichkeit von

60 %

haben. Das würde bedeuten, dass ich das

p

(also die Trefferwahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel) berechnen muss.

Aber wie mache ich das genau? Geht mutmaßlich nur mit dem GTR oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

anonymous

11:12 Uhr, 16.05.2019

Hallo
Du sprichst es schon selbst an:
Formeln nützen halt kaum was, wenn man das Verständnis dahinter nicht wirklich verinnerlicht hat.

Das sind noch sehr einfache Aufgaben, die du auch ganz ohne Formeln oder Formelsammlung lösen kannst.
Und du sprichst ja selbst auch schon den Wunsch an, das Verständnis hierzu zu finden.

Also, Stichwort: Gegenereignis

>

Wie lautet das Gegenereignis zu 'eine blaue Kugel wird gezogen'?

>

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Gegenereignis?

>

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 2-mal keine blaue Kugel zu ziehen?

>

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 3-mal keine blaue Kugel zu ziehen?

>

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 4-mal keine blaue Kugel zu ziehen?

>

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 5-mal keine blaue Kugel zu ziehen?

. .

>

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, n-mal keine blaue Kugel zu ziehen?

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11:29 Uhr, 16.05.2019

b)

Durch Probieren mit diesem Rechner komme ich schnell auf

0,4045

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

anonymous

11:46 Uhr, 16.05.2019

Wahrscheinlichkeit eine blaue zu ziehen liegt bei

25 %

Keine Blaue demnach bei

75 %

Für

20

Versuche gilt dann

{0,75}^{20}

Für

n

Versuche dann

{0,75}^{n}

Dann könnte ich ja sagen

1 - {0,75}^{n} \geq 0,9

?
Also die Gegenwahrscheinlichkeit zu keine blaue (was ja genau mindestens 1 blaue ist) soll größer oder gleich

90 %

sein.

Wenn ich das auflöse, komme ich im Prinzip genau auf meine benutzte Formel. Einfacher als gedacht ;-)

1 - {0,75}^{n} \geq 0,9

{0,75}^{n} \leq 0,1

ln ({0,75}^{n}) \leq ln (0,1)

n \cdot ln (0,75) \leq ln (0,1)

n \geq \frac{ln (0,1)}{ln (0,75)}

das

\geq

bzw.

\leq

wird immer gedreht, wenn ich etwas negatives "auf die andere seite bringe" oder?

@supporter:
Wie hast du das denn durch ausprobieren gelöst? Ich spiele ebenfalls mit den Rechner gerade, komme aber nichtmal in den Nähe deines Ergebnisses?!

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12:16 Uhr, 16.05.2019

Ich habe verschiedene

p

durchprobiert, nachdem ich

n

und

k

eingegeben hatte.

anonymous

12:52 Uhr, 16.05.2019

"das

>

bzw.

<

wird immer gedreht, wenn ich etwas negatives 'auf die andere seite bringe' oder?"
Erinnere dich an die Rechenregeln für Ungleichungen.
Wenn du mit einer negativen Größe multiplizierts, dann dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
Mach dir einfach klar:

- 2 < - 1

ganze Gleichung mal

- 1 :

2 > 1

b)

Du hast dir klar gemacht, wie die Formel zustande kommt und zu verstehen ist.
Da finde ich es eigentlich unnötig, rumzuprobieren, wo du doch direkt (explizit) rechnen kannst.
Edit: Upps, sorry - ich habe mir die Aufgabenstellung nochmals genauer angeschaut. Ich hatte nicht beachtet, dass da dieses "mindestens 8" stand.

anonymous

13:13 Uhr, 16.05.2019

Dann müsste

P (x \geq 8) \geq 60 %

ja erstmal richtig sein.

Aber

P (x \geq 8)

lässt sich ja händisch nicht so einfach darstellen, wenn ich für die Trefferwahrscheinlichkeit

p

als variable stehen lasse und dann nach

p

auflöse.

Mit dem GTR kriege ich das aber auch nicht richtig hin.

Ich könnte auch

1 - P (x < 8)

nehmen, aber das macht die Sache auch nicht einfacher.

oder habe ich da wieder einen denkfehler? Durch ausprobieren komme ich jetzt aber schonmal Näherungsweise an das Ergebnis

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13:24 Uhr, 16.05.2019

Ich glaube, es gibt kein mathem. Verfahren, um

p

zu bestimmen in diesem Fall.
Ich zumindest wüsste keines. :-)

Roman-22

16:23 Uhr, 16.05.2019

>

Geht mutmaßlich nur mit dem GTR oder?
Sofern der die Gleichung, die sich zB aus

P (X \leq 7) = 0,4

ergibt, näherungsweise lösen kann, ja.

Die Aufgabe führt auf eine Gleichung

20

. Grades, welche eine positive, eine negative und 9 Paare konjugiert komplexer nicht-reeller Lösungen hat.
Die einzige infrage kommende Lösung ist

p \approx 0,40444768759130024754

1469858

1469829

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