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Minimal- & charakt. Polynom von Endomorphismus

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Vektorräume

Tags: Charakteristisches Polynom, Eigenwert, Endomorphismus, polynomieller Ausdruck, Vektorraum

Lyla93 aktiv_icon

18:51 Uhr, 24.06.2013

i) Sei

α

ein Endomorphismus eines endlichen dimensionalen

ℝ

-Vektorraums

V \neq

{0}. Für alle

v \in V

gelte

α (α (v)) = - v

. Bestimmen Sie das Minimalpolynom

μ_{0}

und das charakteristische Polynom

χ_{α}

von

α

ii) Es sei

A \in ℝ^{5 x 5}

. Das charakteristische Polynom von A sei:

χ_{A} (x) = x^{5} - 5 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1

. Berechnen Sie

A^{- 1}

als polynomiellen Ausdruck in A.

i) Bisher habe ich das charakteristische Polynom und auch das Minimalpolynom nur für Matrizen berechnet, deswegen stehe ich hier gerade etwas auf dem Schlauch. Wie mache ich das denn für einen Endomorphismus?
Das einzige, was bisher in meinen Notizen steht ist folgendes: "Für alle

v \in V

gilt ja, dass

α (α (v)) = - v

. Das heißt wenn man

α (v) = y

definiert:

α (y) = - v

". Ich weiß nicht wirklich, was ich mit dem Rest anfangen soll bzw. wie ich hier weitermache oder anfange.

ii) HILFE ich habe absolut keine Ahnung wie das gehen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

michaL aktiv_icon

19:18 Uhr, 24.06.2013

Hallo,

zu (i): Hilft es dir, wenn statt

α (α (v))

der Term

α^{2} (v)

geschrieben wird?!

zu (ii): Trivial: Ist dir bewusst, dass

χ_{A} (A) = 0

gilt?

^{[1]}

Gehe von dieser Gleichung aus, denke daran, dass

A^{- 1}

charakterisiert wird durch

A A^{- 1} = E

.

Mfg Michael

Weblinks:
[1]: de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cayley-Hamilton

Lyla93 aktiv_icon

08:45 Uhr, 25.06.2013

(i) Ehrlichgesagt hilft mir das bisher noch nicht wirklich, da ich mir wie gesagt gar nicht vorstellen kann, wie charakt. Polynom und Minimalpolynom für etwas anderes als Matrizen ausgerechnet werden soll...

(ii)

χ_{A} (A) = 0

heißt das, die Matrix A wird in das Polynom für x eingesetzt? o.O wie soll ich das berechnen?

michaL aktiv_icon

09:46 Uhr, 25.06.2013

Hallo,

hm, dann muss ich mal fragen, wie ihr das charakteristische Polynom denn definiert habt in der Vorlesung?!

Mann kann Endomorphismen ja durch Matrizen darstellen, das ist der übliche Weg, dazumal sich das charakteristische Polynom bei Basiswechsel ja nicht ändert.

Mfg Michael

Lyla93 aktiv_icon

16:50 Uhr, 25.06.2013

Hallo michaL,
Wir haben das charakt. Polynom in der Vorlesung als algebraisches Werkzeug zur Bestimmung von Eigenwerten definiert, mit folgendem Ausdruck:
"Sei K ein Körper und

A \in K^{n x n}

. Dann heißt

χ_{A} : K \to K, X \to χ_{A} (X) := d e t (X E - A)

das charakteristische Polynom von A."

michaL aktiv_icon

17:01 Uhr, 25.06.2013

Hallo,

hm, wir kommen nicht vorwärts.

Aus

α^{2} (v) = - v

folgt doch

α^{2} (v) + v = 0

, d.h.

χ_{α} (x) = x^{2} + 1

.

Zu (ii): Satz von Cayley-Hamilton besagt, dass

0 = χ_{A} (A) = A^{5} - 5 A^{4} + 4 A^{3} - 3 A^{2} + 2 A - E

\overset{}{\Leftrightarrow} E = A^{5} - 5 A^{4} + 4 A^{3} - 3 A^{2} + 2 A = A (A^{4} - 5 A^{3} + 4 A^{2} - 3 A + 2 E)

, d.h.

A^{- 1} = A^{4} - 5 A^{3} + 4 A^{2} - 3 A + 2 E

. Ist also

p (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 2

, so gilt

A^{- 1} = p (A)

.

Sorry, aber da ist nicht viel mit "die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen".
Sie ist schlicht zu einfach.

Mfg Michael

Lyla93 aktiv_icon

17:29 Uhr, 25.06.2013

Okay, vielen Dank, anscheinend stelle ich mich ein wenig dumm an.

Ich hab allerdings noch eine Rückfrage zu Punkt (i):
Kannst du mir nochmal kurz sagen, wie man auf diese Umformung kommt: "

" α^{2} (v) + v = 0, d . h . χ_{α} (x) = x^{2} + 1

michaL aktiv_icon

18:26 Uhr, 25.06.2013

Hallo,

kannst du keine Ähnlichkeit erkennen zwischen

α^{2} (v) + v

und

x^{2} + 1

?

Mfg Michael

EDIT: Typo

1103250

1103072

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