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Minimale Strecke zum Ursprung berechnen - Wie?

Schüler

Tags: Minimale Strecke zum Ursprung.

XMaster29 aktiv_icon

19:42 Uhr, 08.09.2015

Wir haben eine beliebige Funktion

: X^{2} + 7

Ihr wisst etwa wie diese Parabel aussieht. Eine Normalparabel die 7 Einheiten nach oben verschoben worden ist.

Dann die Aufgabe: Berechne die Koordinaten der Punkte, deren Abstand zum Ursprung am geringsten ist und benenne den Abstand.

Mein Ansatz: Man könnte es mit dem Satz des Pythagoras lösen, was aber nicht zur genauen Lösung führt.

\to

Wir haben nur die Funktion und die Aufgabenstellung.

Brauche Hilfe.

LG

XMASTER29

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

abakus

19:45 Uhr, 08.09.2015

Der Punkt (0|7) ist der gesuchte Punkt. Da gibt es nichts zu rechnen.

XMaster29 aktiv_icon

19:48 Uhr, 08.09.2015

Warum ist den der Punkt

(7.0)

am nahsten zum Ursprung? Du hast Recht....habe mich aber vertippt...

f (x) = - x^{2} + 7

Sollte so heißen.

Eva88 aktiv_icon

20:42 Uhr, 08.09.2015

s = \sqrt{y^{2} + x^{2}}

s = \sqrt{{(- x^{2} + 7)}^{2} + x^{2}}

s' = ...

rundblick aktiv_icon

20:43 Uhr, 08.09.2015

f (x) = - x^{2} + 7

"Sollte so heißen."

.. dann untersuche halt mal zB: den Punkt

P (\sqrt{\frac{13}{2}} | \frac{1}{2})

XMaster29 aktiv_icon

20:54 Uhr, 08.09.2015

Hallo,

Zuerst, wieso hast du eine Wurzel und das ins quadrat gesetz?

...

.

ich habe nach

x

aufgelöst und bekam

- \frac{7}{12}

raus. Als Dezimalzahl:

- 0.58333

.

Was muss ich jetzt tun? In die Ausgangsfunktion einsetzen?

f (x) = + \frac{7}{12} - 7 =

-6.417....Dann als Punkt

(- 0.53 . - 6417)

Ist das richtig, wenn nein was habe ich falsch gemacht.

Danke.

XMaster29 aktiv_icon

20:56 Uhr, 08.09.2015

Mithilfe des Satz von Pythagoras oder wie? Das dauert dann ja ewig bis man den Wert hat, da man dann mehrere Punkte sich angucken muss.

rundblick aktiv_icon

21:15 Uhr, 08.09.2015

"das dauert dann ja ewig "

wenn du mit der Ewigkeit nichts am Hut hast
dann mach doch einfach nur eine endlich kurze Nachdenkpause:

die Normale im gesuchten Kurvenpunkt

P (x_{1} | y_{1})

muss
nämlich durch den Ursprung gehen (warum?)

die Steigung dieser Normalen ist also
einerseits

\to \frac{y_{1}}{x_{1}}

und andererseits

\to \frac{1}{2 \cdot x_{1}}

also muss gelten:

\to \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{1}{2 \cdot x_{1}}

daraus folgt

\to y_{1} = \frac{1}{2}

damit hast du sofort den y-Wert der gesuchten Punkte
und die beiden möglichen x-Werte bekommst du aus der Kurvengleichung

fertig.

ach ja:
zum Schluss darfst du zusammen mit dem aus der Ewigkeit wiederbelebten
Herrn Pythagoras direkt noch die Länge des kürzesten Abstandes berechnen .
.

XMaster29 aktiv_icon

21:26 Uhr, 08.09.2015

Hallo,

danke, aber ich blicke gerade nicht durch. Ist die Steigung nicht:

\frac{Δ}{Δ} \frac{Y}{x}

Und wie kommt man auf

\frac{1}{2} \cdot x 1

Bin bisschen verwirrt.

XMaster29 aktiv_icon

21:29 Uhr, 08.09.2015

Nachdem ich

y = \frac{1}{2}

von Ihnen hatte kam ich auf eine Strecke von 1,27cm... Für

X

hatte ich

2.54

raus.

Nur wie man zu

y

kam, war mir zu schnell.

LG

rundblick aktiv_icon

21:38 Uhr, 08.09.2015

.
" Bin bisschen verwirrt."

..schön.. du sollst ja auch versuchen etwas mitzudenken -
und klar - das strengt etwas an .. aber könnte sich rentieren?

also:

\to

mach dir eine Skizze mit der Parabel und trage irgendeinen Beispielpunkt

P (x | y)

(mit Vorteil im I.Quadranten) mitsamt eingezeichneter Ordinate

y

ein.

verbinde

P

mit

O (0 | 0) \to

du siehst ein rechtwinkliges Dreieck mit den
Katheten

y

und

x \to

die Steigung von OP ist dann

\frac{y}{x}

->also wird dies auch für den gesuchten Punkkt gelten

: \to \frac{y_{1}}{x_{1}}

...

. soweit schonmal ok?

.

und dazu:
" hatte kam ich auf eine Strecke von 1,27cm

. .

\to

das ist FALSCH

. .

. Für

X

hatte ich

2.54

raus.

... ... .

\to

das ist RICHTIG (aber schlecht gerundet..)
.

22

Uhr .. keine Reaktion ? .. na dann halt nicht.

XMaster29 aktiv_icon

22:09 Uhr, 08.09.2015

Erneutes Hallo,

ich habe die Parabel eingezeichnet und das Rechteck (Mit 2 Katheten und einer Hypotenuse)... Den Katheten Punkt

P (\frac{X}{Y})

lässt sich ja berechnen...individuell (kommt drauf an welchen Wert man hat für

x

oder

y)

Aber: wenn man die Steigung bestimmt hat man ja .. y=mx+b

m

ist ja die Steigung, da wird ja der Differenzenquotient genommen.
Da man ja 2 Punkte

z . B . :

OP hat....und nicht einen Punkt, sodass man

m = \frac{y}{x}

nehmen kann.

Verstehen Sie was ich meine?

rundblick aktiv_icon

22:46 Uhr, 08.09.2015

" hat man ja .. y=mx+b .."

\to

JA - und da die Gerade durch den Nullpunkt geht ist

b = 0 \to y = m x

also ist in jedem Punkt

P (x_{1} | y_{1})

dieser Geraden die Steigung

m = \frac{y_{1}}{x_{1}}

\to

und nun zu deiner zweiten Frage

\to

warum ist

\to m = \frac{1}{2 x_{1}}

?

Frage:
weisst du, wie du die Steigung der Tangente

t

im Kurvenpunkt

P

ausrechnen kannst?

\to m_{t} =

?
die zur Tangente senkrechte Normale

n

hat dann die Steigung

m_{n} = - \frac{1}{m_{t}}

\to m_{n} =

?

mach mal...

XMaster29 aktiv_icon

22:52 Uhr, 08.09.2015

Mom. Gib mir

5 - 10

Min,

XMaster29 aktiv_icon

23:01 Uhr, 08.09.2015

Also:

- \frac{1}{m}

ist ja die normale. Das bedeutet, dass das der Punkt

P

Orthogonal zum Punkt

O

sein muss. Dann den Punkt

P

in die normale einsetzen:

- \frac{1}{...}

.

1. Habe super verstanden, dank dir...nur diese

\frac{1}{2} x

habe ich nicht verstanden.
Habe aber einen Ansatz oben.

rundblick aktiv_icon

23:05 Uhr, 08.09.2015

.
Kurve:

\to y = 7 - x^{2}

nochmal->
wie kannst du die Steigung einer Kurve ausrechnen?

(\to 4

Minuten

:)

XMaster29 aktiv_icon

23:10 Uhr, 08.09.2015

Y = 7 - x^{2}

m (t) =

mx+n

0 = m \cdot x^{2} + 7 | - 7

- 7 = m \cdot x^{2} | : X^{2}

- 7 : x^{2} = m

So in etwa?

rundblick aktiv_icon

23:14 Uhr, 08.09.2015

.
nein

die Steigung einer Kurve wird mit der ersten Ableitung ermittelt
(schon mal davon gerüchteweise gehört ??)

also :

y = 7 - x^{2} . .

\to . .

y' =

(3

Minuten

) \to ...

.
.

XMaster29 aktiv_icon

23:17 Uhr, 08.09.2015

Hi,

ich weiß nicht warum aber ich vergesse immer vieles

; - (

Also:

y = 7 - x^{2}

Hinr. Bed.:

f' (x) = 2 x

rundblick aktiv_icon

23:20 Uhr, 08.09.2015

f (x) = 7 - x^{2}

f′(x)=2x

....................NEIN

\to

du siehst das zu positiv

!!

XMaster29 aktiv_icon

23:21 Uhr, 08.09.2015

f' (x) = - 2 x

Vorzeichenfehler hatte ich.

rundblick aktiv_icon

23:24 Uhr, 08.09.2015

.

die Ableitung von

y = 7 - x^{2}

ist NICHT

\to y' = 2 x

ok - sehe, du hast den Fehler erkannt..

XMaster29 aktiv_icon

23:25 Uhr, 08.09.2015

Siehe meine letzte Antwort...wurde schon verbessert ;-)

rundblick aktiv_icon

23:32 Uhr, 08.09.2015

.
toll, dass du langsam ganz schön schnell wirst.. weiter so!

also nun: die Tangente im

P (x_{1} | y_{1})

hat die Steigung

m_{t} = - 2 x_{1}

dh die Normale hat die Steigung

m_{n} = - \frac{1}{m_{t}} = \frac{1}{2 x_{1}}

damit ist deine zweite Frage von oben nun geklärt?

und du hast demnach nun wegen der Gleichheit der beiden gefundenen Steigungen:

\frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{1}{2 x_{1}}

Rest jetzt klar ?

nebenbei: In welchem Land gehst du denn in welche Klasse?

XMaster29 aktiv_icon

23:43 Uhr, 08.09.2015

Also zunächst: Danke für die große Hilfe.

Wenn man die

- 2 x

einsetzt wird aus minus und minus

= +

.

Beim unteren kürzt man ja ein

x 1

weg, sodass man

y 1 = \frac{1}{2}

raus hat....was ich jetzt verstanden habe.

Jetzt haben wir ja die

\frac{1}{2}

bzw.

0,5

Diese dann

: 0,5 = - x^{2} + 7 | - 7

- 6,5 = - x^{2} | : (- 1)

6,5 = x^{2} | \pm

Wurzel

\pm 2.54951 = x 1,2

So:

X = 2.55, y = 0.5

Jetzt Satz des Pythagoras:

2 . 55^{2} \cdot {0,5}^{2} = {1,62563}^{2}

Davon die Wurzel (von

1,63) = 1,275

cm

Wäre das dann

1,275

cm von dem Punkt bis zum Ursprung, sodass das der kleinste Wert ist?

LG

rundblick aktiv_icon

23:53 Uhr, 08.09.2015

6,5 = x^{2}

|± Wurzel

\to x = \pm \sqrt{\frac{13}{2}}

JA
±2.54951=x1,2

"
Jetzt Satz des Pythagoras:

2.552⋅0,52=1,62563 "

< - - - - - - - - - - - \to

MANN! der arme Pytha.. rotiert irre im Grab!

SCHLAG NACH

\to

Satz des Pythagoras .. und dann trifft dich hoffentlich auch der SCHLAG

.

XMaster29 aktiv_icon

23:55 Uhr, 08.09.2015

In Deutschland,

12

. Klasse - G9...eig. habe ich das wissen über Mathe, nur das in den Sachzusammenhang zu bringen geht mir schwer.

XMaster29 aktiv_icon

00:01 Uhr, 09.09.2015

Die Formel lautet ja

= a^{2} + b^{2} = c^{2}

{2,55}^{2} + {0,5}^{2} = 6,75

Davon die Wurzel!

= 2,59856

~2,60cm.

2,6

cm ist doch die Antwort, oder? Schlimme Zeichensetzubgsfehler mache ich...statt

+

mal ein mal benutzt. ;-)

Cm oder LE (Längeneinheiten)?

rundblick aktiv_icon

00:16 Uhr, 09.09.2015

.
" Davon die Wurzel!

= 2,59856

~2,60cm.

\to

...JA .. aber wieso cm und nicht km ? (LE:ok))

2,6

cm ist doch die Antwort, oder?"

- ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. ? die Antwort auf welche Frage denn?

"In Deutschland,"

\to

Hessen?? Bremen ? ODER?

und ausstehend ist ja immer noch die Antwort auf die allererste Frage:
ZITAT:
"die Normale im gesuchten Kurvenpunkt

P (x 1 | y 1)

muss
nämlich durch den Ursprung gehen ->(warum?)"

. . < - .

. WARUM ?

.

XMaster29 aktiv_icon

00:23 Uhr, 09.09.2015

Also es gab keine Maßeinheiten, nur beim diesem Graphen müsste es doch cm sein...ist es sinnvoller LE oder was anderes zu nehmen?

1. Entweder hat das etwas mit dem Wort Orthogonal zu tun.
2. Oder da hat man ja die hinreichende Bedingung (1.Ableitung) genommen von einer

x^{2}

Funktion...also

- 2 x . .

. und alle linearen "Kurven" bzw. linearen geraden gehen durch den Ursprung.

\to

Aber nur wenn es nicht verschoben wird.

rundblick aktiv_icon

00:32 Uhr, 09.09.2015

.
noch eine kleine Anregung:

du solltest dir unbedigt auch noch den konventionellen Lösungsweg , den dir
die geschätzte Eva vorgeschlagen hat, anschauen.
(siehe deine Bemerkung dazu ..

\to

in Ewigkeit, amen

!)

Ein kleiner Tipp noch dazu:
um Extrema einer Wurzel zu finden, genügt es hier, die Extrema des Radikanden
zu ermitteln.
Und oh Wunder: du wirst am Schluss genau die selben zwei Lösungspunkte erhalten..

wäre doch ne gute Übung .. oder?

.

.

XMaster29 aktiv_icon

00:40 Uhr, 09.09.2015

Ja wäre es...danke für den Tipp...letzten paar Fragen: Muss ich bei Evas Weg...nach

x

auflösen..x dann in die Funktion

y = - x^{2} - 7

einsetzen für

y

....dann mit Satz des Pythagoras weiter arbeiten um dann auf die 1,6cm zu kommen. LE ode cm?

Eva...hat einfach die Exponenten auf zwei hochgesetz und dann eine Wurzel....löst sich die Wurzel und

^2

nicht nach

s = x + y

rein theoretisch auf?

Und war meine Hypothese zu deiner Frage richtig?

LG

linuxdoesitbetter aktiv_icon

17:18 Uhr, 09.09.2015

Hallo XMaster29,

bei Evas Lösungsansatz ist mit s der Abstand eines Punktes

P (x_{P} ∣ y_{P})

zum Ursprung gemeint. Dieser ergibt sich, so wie Eva schrieb, mittels Pythagoras zu:

s = \sqrt{x_{P}^{2} + y_{P}^{2}}

Nun muss P aber auf der Parabel liegen. Deshalb wird

y_{P}

durch

- x^{2} + 7

ersetzt. Daraus ergibt sich eine Funktion s(x) für den Abstand jedes Punktes P(x|f(x)) der Parabel zum Ursprung.

s (x) = \sqrt{x^{2} + (- x^{2} + 7)^{2}}

Nun ist die Frage, für welche Werte von x, dieser Abstand minimal wird. Um dies herauszufinden suchst du die Nullstellen der ersten Ableitung von s(x) - also von s'(x). Wenn du die beiden Stellen gefunden hast (aus einer Skizze wird klar, dass es sich um Minima handelt) setzt du diese in die Parabel ein, um die y-Werte zu erhalten. Dann setzt du diese Stellen in die Funktion s(x) ein, um die Abstände zu erhalten. Da die Parabel symmetrisch zur Ordinate ist, kommen für die Abstände und die Y-Koordinaten der Punkte die gleichen Werte heraus.

Der Lösungsansatz von Rundblick war ein anderer. Er hat sich einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung gedacht, und diesen gedanklich so groß gemacht, dass die Kreisline die Parabel berührt. Die Berührungspunkte sind die gesuchten Punkte und der kleinste Abstand der Parabel zum Ursprung entspricht dem Radius dieses Kreises. An den beiden Berührungspunkten haben Kreisline und Parabel den gleichen Anstieg. Was Rundblick die ganze Zeit von dir wissen wollte, war dies: Wenn du eine Sekante durch den Mittelpunkt eines Kreises laufen lässt, dann sind die Tangenten an den Schnittpunkten dieser Sekante rechtwinklig zur Sekante. Wenn der Anstieg der Tangenten

m

ist, dann ist der Anstieg der genannten Sekanten

- \frac{1}{m}

.

Gruß,
ldib

Stephan4

19:12 Uhr, 09.09.2015

Weg

1 :

Parabel:

[1] y = - x^{2} + 7

(blaue Linie, siehe Grafik unten)

Abstand

d

eines Punktes

P (x_{0} | y_{0})

zum Ursprung:

[2] d = \sqrt{{(x_{0})}^{2} + {(y_{0})}^{2}}

Abstand

d

eines Punktes der Parabel

P (x | - x^{2} + 7)

zum Ursprung:

[1]

[2]

einsetzen:

[3] d (x) = \sqrt{{(x)}^{2} + {(- x^{2} + 7)}^{2}}

(grüne Linie)

Davon den Extremwert durch Nullsetzen der ersten Ableitung bestimmen:

[4] d' (x) = 0 = - \frac{2 x + 2 (- x^{2} + 7) \cdot (- 2 x)}{2 \sqrt{{(x)}^{2} + {(- x^{2} + 7)}^{2}}} | \cdot \sqrt{...}

[5] 0 = - x - 2 x^{3} + 14 x = - 2 x^{3} + 13 x = x \cdot (- 2 x^{2} + 13)

[6] x = \pm \sqrt{6,5} = 2,55 (x = 0

hier nicht interessant)

[7] \Rightarrow P (\pm \sqrt{6,5} | 0,5) d = 2,60

Weg

2 :

Die Parabel

[1]

mit der Ableitung

[8] y' (x) = - 2 \cdot x

hat im Punkt

P (x_{0} | - {(x_{0})}^{2} + 7)

den Parabelanstieg

[9] y' (x_{0}) = - 2 \cdot x_{0}

Die Ursprungsgerade durch

P

(rote Linie) hat den Geradenanstieg

[10] m = \frac{y_{0}}{x_{0}} = \frac{- {(x_{0})}^{2} + 7}{x_{0}}

Diese stehen normal zueinander, also

[11] \frac{- 1}{y' (x_{0})} = m

Wenn man hier

[9]

und

[10]

einsetzt, erhält man

[12] \frac{1}{2 \cdot x_{0}} = \frac{- {(x_{0})}^{2} + 7}{x_{0}}

[13] x_{0} = \pm \sqrt{6,5}

Weiter wie

[7]

:-)

Stephan4

20:42 Uhr, 09.09.2015

Weg

3 :

Der Kreis (rote Linie)

[1] x^{2} + y^{2} = d^{2}

berührt die Parabel (blaue Linie)

[2] y = - x^{2} + 7 \Rightarrow x^{2} = 7 - y

Dies ergibt:

[1]

mit

[2]

[3] (7 - y) + y^{2} = d^{2} \Rightarrow y^{2} - y + 7 - d^{2} = 0

wobei

d

so gewählt wird, dass

y

nur eine Lösung hat, eben

y = 0,5

y = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - (7 - d^{2})}

also unter der Wurzel null steht.

\frac{1}{4} - (7 - d^{2}) = 0 \Rightarrow d = \sqrt{6,75} = 2,60

:-)

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