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Minimalen Flächeninhalt berechnen
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Integration, minimal, Rechteck
 
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Hallo :-) ich weiß nicht wie ich mit folgender Aufgabe anfangen soll: In der Fläche zwischen der Kurve K von f(x)=-0,125x^2+2 und der x-Achse ist ein Rechteck einbeschrieben (siehe Abb.) Bestimmen Sie die Eckpunkte so, dass die gestrichelte Fläche den kleinsmöglichen Flächeninhalt hat. Wie soll ich das denn jetzt anstellen? :-) Ich wäre sehr dankbar für Antworten!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Die gestrichelte Fläche hat dann den kleinstmöglichen Flächeninhalt, wenn das Rechteck den größtmöglichen hat. |
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und wie kann man das berechnen? |
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Mit Differentialrechnung. Das ist doch bestimmt nicht die erste Extremwertaufgabe, an der du rechnest. Du musst nun eben die Zielfunktion aufstellen. |
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ich kann keine Extremwertaufgaben :( |
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Aha. Dann lies dich in deinem Mathebuch ein. |
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Hätte ich es im Mathebuch verstanden, wäre ich ja nicht hier... |
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Dann sag konkret was du nicht verstanden hast. Hilfreich könnte auch folgendes sein: http//www.mathe-online.at/materialien/matroid/files/ex/ex.html |
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okay vielen dank :-) also meine Lösungsidee ist: 1.) den Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse zu berechnen 2.) den Flächeninhalt des Rechtsecks zu berechnen 3.) beides voneiander abziehen 1.) Ableitung: F(x)=-1/24x^3+2x GTR... => A = 10,667 FE (Flächeninhalt zw. Kf und x-Achse) nun komm ich zu Punkt 2 und hier ist schon mein erstes Problem: wie berechne ich die Höche und Breite des Rechtecks??? |
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nimm ich dann vielleicht die erste Ableitung f'(X)=-0,25x und suche dann im GTR nach der maximalen Extremstelle. Diese setze ich dann in meine f'(X) ein und erhalte den Flächeninhalt des Rechtsecks?! Nur ist f'(x)= -0,25x eine Gerade, deshalb gibt es gar keine Extremstellen, oder? |
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Das ist unnötig kompliziert. Wie ich schon in meinem ersten Beitrag geschrieben hab, musst du nur schauen wann der Inhalt des Rechtecks maximal wird (denn dann ist ja der Inhalt der gestrichelten Fläche minimal). Schau dir mal das angefügte Bild an. Gebe nun den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von an. Also überlege dir wie groß Länge und Breite des Rechtecks Abhängigkeit von sind.  |
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wäre das dann A = 2u * f(u) ? |
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Super ist vollkommen korrekt. Mit ergibt sich also Multipliziere diese Funktion nun aus und finde dann ihr Maximum wobei . |
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dankeschön :-) das wäre dann A(u)=-0,25u^3+4u und das Maximum liegt bei x=2,31. Muss ich nun mein Maximum in f(x) einsetzen und erhalte dann den Flächeninhalt des Rechtecks? |
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Ja genau. Das exakte Ergebnis ist übrigens |
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nach dem Einsetzen in f(x) erhalte ich dann f(4/wurzel3)= 4/3 dann subtrahiere ich es vom Gesamtflächeninhalt (A zwischen Kurve und x-Achse), also 10,6667 - 4/3 = 9,3333 FE Stimmt das soweit? Doch wie berechne ich nun die Eckpunkte? |
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Ich hab deine Rechnungen nicht kontrolliert, weil du das alles gar nicht ausrechnen brauchst. Die Eckpunkte sind doch dann einfach und |
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vielen dank :-) aber ich verstehe nicht, woher die du jetzt hast? kannst du mir das bitte erklären? |
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Schau dir doch das Bild an, dann sollte es klar werden. |
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okay, jetzt habe ich es verstanden :-) War ja gar nicht so schwer.. vielen, vielen Dank für deine Geduld!!! :-) |
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Keine Ursache. |
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