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Minimalen und Maximalen Wert einer Fuktion finden

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Tags: Wie kommt der Prof darauf:)?

Student1991 aktiv_icon

11:21 Uhr, 23.09.2011

Hallo leute,

ich hätte hier mal eine Frage bezüglich einer Aufgabe aus einer Matheübung. Und zwar geht es darum den minimalen und maximalen Wert der Fuktion

x^{3} + 2 x^{2}

im Intervall(-

\frac{π}{2}, 1)

zu finden!
Die Aufgabe wurde uns vorgerechnet, doch im Nachhinein kommen da bei mir einige Fragen auf...:-)!
Es wurden zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt-->x=0 und

x = - \frac{4}{3}!

Is verständlich;-)!
Nun wurden die X-Werte

x = 1, x = 0, x = - \frac{4}{3}

und

x = - \frac{π}{2}

in die Funktion eingesetzt.
Danach gibt er an das der maximale Wert bei

f (1) = 3

liegt und der minimale bei

f (0) = 0 .

.
Ich hätte jetzt allgemein die Frage wie man rein logisch darauf kommt das die beiden Werte die Lösung sind, denn der Prof hat den Graphen ja im Kopf;-)!
Des Weiteren versteh ich eine seiner Bedingungen nicht...bei der Errechnung für

f (- \frac{π}{2})

bekommt er Näherungsweise

\frac{π^{2}}{8}

raus und stellt die Bedingung das der Wert kleiner als 2 ist...Weiss einer warum:/?

Vielen Dank schonmal für die Hilfe ich hoffe auf eine Antwort:-)!
Grüße Chris

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

12:03 Uhr, 23.09.2011

...suche die Extremstellen:

f' (x) = 3 \cdot x^{2} + 4 \cdot x = 0

x \cdot (3 \cdot x + 4) = 0

x = 0

oder

3 \cdot x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{4}{3}

Lokale Extrema existieren also für

x = 0

udn

x = - \frac{4}{3}

Es ist aber nicht nur nach lok. Extrema gesucht, sondern nach Maximalwerten, also müssen die Funktionswerte der Grenzen mit berücksichtigt werden (diese könnten ja größer als das lokale Maximum bzw. kleiner als das lok. Minima sein).

Also bestimmen von

f (- \frac{π}{2}), f (- \frac{4}{3}), f (0)

und

f (1) :

f (- \frac{π}{2}) = {(- \frac{π}{2})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{π}{2})}^{2} = - 3,875 + 4,93 = 1,055

f (- \frac{4}{3}) = {(- \frac{4}{3})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2} = - \frac{64}{27} + \frac{32}{9} = \frac{32}{27} = 1,185

f (0) = 0

f (1) = 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} = 3

Damit ist der Maximalwert bei

f (1)

und der Minimalwert bei

f (0)

Für die Geschicht mit

π :

f (- \frac{π}{2}) = {(- \frac{π}{2})}^{3} + 2 \cdot {(- \frac{π}{2})}^{2} = - \frac{π^{3}}{8} + \frac{π^{2}}{2} = - \frac{π^{3}}{8} + 4 \cdot \frac{π^{2}}{8} = \frac{- π^{3} + 4 \cdot π^{2}}{8}

4 > π

ist:

\frac{- π^{3} + 4 \cdot π^{2}}{8} > \frac{- π^{3} + (π) \cdot π^{2}}{8} = 0

damit

f (- \frac{π}{2}) > 0

und da

π > 2

ist:

\frac{- π^{3} + 4 \cdot π^{2}}{8} < \frac{- 2 \cdot π^{2} + 4 \cdot π^{2}}{8} = 2 \cdot \frac{π^{2}}{8} = \frac{π^{2}}{4}

damit

f (- \frac{π}{2}) < \frac{π^{2}}{4}

Nun nur zeigen, dass

\frac{π^{2}}{4} < 3

π^{2} < 12

π < \sqrt{12}

...passt...

;-)

Student1991 aktiv_icon

17:35 Uhr, 23.09.2011

Hallo Edddi,
danke schonmal für deine schnelle Hilfe:-)!Das meiste is ja auch klar aber der letzte Teil leuchtet mir immernoch nicht so recht ein...
Also letztendlich hat man die lokalen Extrema bestimmt und geht nun erstmal davon aus das der Minimal bzw. Maximalwert mit den Werten übereinstimmen. Dies kann man aber nicht tun, da man den Verlauf der Funktion nicht unbedingt weiss und dadurch die Grenzwerte des Intervalls höher bzw. tiefer liegen können richtig?!
Okay und was willst du dann in den Schritten mit den Bedingungen beweisen?Letztendlich hat man ja die Funktion mit den jeweilligen Werten schon berechnet und weiss somit das

f (- \frac{4}{3})

und

f (- \frac{π}{2})

zwischen Null und Drei liegen und somit in dem Bereich liegen und als Maximal- oder Minimalwert rausfallen?!
Wobei ich das sowieso nicht ganz verstehe warum du erst die Bedingung gibst das

\frac{π}{2}

größer als 0 sein soll und dann später auf einmal doch wieder kleiner als 3..?:-)
Wahrscheinlich hab ich noch einen Denkfehler, wäre nett wenn du mir auf die Sprünge helfen könntest:-)!
Besten Dank schonmal:-):-)!

Grüße Chris

Edddi aktiv_icon

19:15 Uhr, 24.09.2011

...wenn du für eine Funktion, wie in unserem Beispiel, 2 lokale Extremstellen erhälst und du für diese beiden loalen Extremstellen die Funktionswerte berechnest, du nun noch einen Funktionswert betrachtest, der größer ist, als einer der Extremstellen, so kann es dazwischen keinen weiteren Extremwert geben! Also, ist ein Funktionswert (hier von einem der Grenzen) größer als die Funktionswerte der Extremstellen, so MUSS es sich bei diesem Wert innerhalb der Grenzen auch um den GRÖßTEN Wert handeln.

Mit dem kleinsten Wert verhält es sich analog.

Das mit der

π -

Abschätzung lässt du eben außen vor. Durch die Berechnung des Funktionswertes ist die Abschätzung nicht notwendig. Ist nur halt was für den, der keinen TR zur Hand hat. Dann kann man sich mit solchen Mitteln behelfen - muss es aber nicht!

;-)

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