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Minimaler Abstand Ebene-Punkt

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

student81 aktiv_icon

10:52 Uhr, 25.01.2016

Hallo,

bei Aufgabe

a)

bekomme ich für

z

und 1 jeweils das falsche Vorzeichen raus. Weiß jemand warum?

Und wie muss ich bei Aufgabe

b)

vorgehen? Finde da keinen Ansatz.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mathe45

11:02 Uhr, 25.01.2016

Manchmal ist es hilfreich, wenn man die Angabe respektive die Aufgabenstellung kennt.

Mathe45

11:18 Uhr, 25.01.2016

z_{0} = - \sqrt{2}

z = - \sqrt{1 + {(x - 2 \cdot y)}^{2}}

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11:25 Uhr, 25.01.2016

Ja klar...

Und bezüglich der b?

Mathe45

11:35 Uhr, 25.01.2016

Abstandsfunktion minimieren.

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12:23 Uhr, 25.01.2016

Also Hessesche Normalform benutzen oder?
Aber wie komme ich hier an meinen Normalenvektor?

Mathe45

12:25 Uhr, 25.01.2016

Du hast hier nicht den Abstand eines Punktes von einer Ebene, sondern den Abstand zweier Punkte.
Oder hast du es anders gemeint ?

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12:41 Uhr, 25.01.2016

Ich verstehe immer noch nicht so ganz was ich da rechenen muss..

ledum aktiv_icon

02:04 Uhr, 26.01.2016

Lies die Aufgabe genau
bevor du minimierst was st die Entfernung von

Q

zu einem Punkt von F?
ledum

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09:34 Uhr, 26.01.2016

Den Abstand bekomme ich indem ich

Q

in die Hessesche Normalenform von

F

einsetze..
Aber wie komme ich an die Hessesche Normalenform?

Mathe45

09:39 Uhr, 26.01.2016

Bitte lies genau !
"bevor du minimierst was ist die Entfernung von

Q

zu einem PUNKT von F"
Also nicht die Entfernung von

Q

F,

sondern die Entfernung von

Q

zu einem vorerst noch unbekannten Punkt von F.
Und

F

ist doch ein hyperbolischer Zylinder. Wie willst du da "Hesse" anwenden ?

Respon

09:57 Uhr, 26.01.2016

Die Rechnung ist einfacher als du glaubst.
Wir haben den gegebenen Punkt

Q = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})

und den - vorerst - noch unbekannten Punkt

P = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{matrix})

auf F.
Der Abstand dieser beiden Punkte läßt sich so ausdrücken.

d = \sqrt{{(x_{0} - 1)}^{2} + {(y_{0} + 2)}^{2} + {(z_{0} - 0)}^{2}}

Da der unbekannte Punkt auf

F

liegt, so gilt

z_{0}^{2} = 1 + {(x_{0} - 2 \cdot y_{0})}^{2}

\Rightarrow

d = \sqrt{{(x_{0} - 1)}^{2} + {(y_{0} + 2)}^{2} + 1 + {(x_{0} - 2 \cdot y_{0})}^{2}}

Das soll minimiert werden. Wenn

d

ein Minimum, dann auch

d^{2}

d^{2} = {(x_{0} - 1)}^{2} + {(y_{0} + 2)}^{2} + 1 + {(x_{0} - 2 \cdot y_{0})}^{2}

Partielle Ableitungen nach

x_{0}

bzw.

y_{0}

bilden und 0 setzen. Dann die errechneten Kandidaten auf Max bzw. Min überprüfen. Hier eigentlich nicht notwendig, da es nur ein Minimum geben kann.

student81 aktiv_icon

10:05 Uhr, 26.01.2016

Da muss man erstmal drauf kommen...
Danke!

student81 aktiv_icon

10:05 Uhr, 26.01.2016

Da muss man erstmal drauf kommen

. .

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Danke!

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