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Minimaler Abstand Punkt-Ellipsoid-Oberfläche

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Extremwertaufgabe, Funktionentheorie

Nabla aktiv_icon

22:33 Uhr, 17.07.2010

Bestimmen Sie den min. Abstand vom Pkt. P(5;7;18) zur Ellipsoid-Oberläche $2 x^{2} + {(\frac{y}{2})}^{2} + z^{2} = 1$

Geben Sie den Minimalabstand an.

Mir fehlt vor allem der Ansatz der Extremwertaufgabe, ich denke das Rechnen ist dann nicht so schwer...

DANKE

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

01:17 Uhr, 18.07.2010

Mir fällt momentan nichts besseres ein, als den Lagrange-Formalismus zu nehmen.

Ein Punkt $(\begin{matrix} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \\ z \end{matrix})$ auf der Oberfläche des Ellipsoids hat ja vom Punkt $(\begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix} \\ 18 \end{matrix})$ den Abstand:

$\sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z - 18)}^{2}}$

und den sollen wir minimieren. Die Nebenbedingung ist, daß der Punkt auf der Oberfläche

des Ellipsoids liegt. Statt des Abstands kann man auch das Quadrat des Abstands

minimieren, dann spart man sich die Wurzel in der Zielfunktion. Die Lagrange-Funktion

sollte dann so aussehen:

$L (x, y, z) = {(x - 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z - 18)}^{2} - λ \cdot (2 \cdot x^{2} + {(\frac{y}{2})}^{2} + z^{2} - 1)$

Dann die Lagrangegleichungen aufstellen, Gleichungssystem auflösen, fertig.

Ich habe es mal ausgerechnet, aber es war eine ziemliche Rechnerei. Ich habe eine

Gleichung 6. Grades für $λ$ bekommen, die ich dann numerisch aufgelöst habe. Das

Ergebnis sieht sehr plausibel aus. Aber vielleicht habe ich ja eine einfachere Möglichkeit,

die Gleichungen aufzulösen übersehen.

Yokozuna aktiv_icon

07:07 Uhr, 18.07.2010

Vielleicht gibt es ja doch noch eine andere Möglichkeit. Nachdem es um Differentialgeometrie

geht, sollte man mit deren Methoden eine Lösung versuchen. Der kürzeste Abstand von dem

gegebenen Punkt zum Ellipsoid sollte doch senkrecht auf der Oberfläche des Ellipsoids

stehen. Dies kann man folgendermaßen ausnutzen. Man benutzt Polarkoordinaten:

$\vec{r} (R, u, v) = (\begin{matrix} \begin{matrix} R \cdot \cos (u) \cdot \sin (v) \\ R \cdot \sin (u) \cdot \sin (v) \end{matrix} \\ R \cdot \cos (v) \end{matrix})$

und eliminiert daraus mittels der Ellipsoid-Gleichung den Radius R. Dann hängt $\vec{r}$ nur

noch von $u$ und $v$ ab:

$\vec{r} (u, v) = (\begin{matrix} \begin{matrix} x (u, v) \\ y (u, v) \end{matrix} \\ z (u, v) \end{matrix})$

und man kann die beiden Tangentenvektoren, berechnen:

$\vec{r_{u}} (u, v) = \frac{\partial}{\partial u} (\begin{matrix} \begin{matrix} x (u, v) \\ y (u, v) \end{matrix} \\ z (u, v) \end{matrix}), \vec{r_{v}} (u, v) = \frac{\partial}{\partial v} (\begin{matrix} \begin{matrix} x (u, v) \\ y (u, v) \end{matrix} \\ z (u, v) \end{matrix})$

Wenn der Abstand senkrecht auf der Oberfläche des Ellipsoids stehen soll, muß er

senkrecht zu den beiden Tangentialvektoren sein:

$(\vec{r} (u, v) - (\begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix} \\ 18 \end{matrix})) \cdot \vec{r_{u}} (u, v)) = 0, (\vec{r} (u, v) - (\begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix} \\ 18 \end{matrix})) \cdot \vec{r_{v}} (u, v)) = 0$

Damit hat man 2 Gleichungen für $u$ und $v$ . Die Berechnung der Ableitungen dürfte

ziemlich viel Arbeit machen und ich weiß nicht, ob sich die beiden Gleichungen einfach

nach $u$ und $v$ auflösen lassen, weil ich es selbst auch noch nicht probiert habe, aber

schlimmer als der Lagrange-Formalismus wird es wohl auch nicht werden.

Nabla aktiv_icon

10:30 Uhr, 18.07.2010

Erstmal vielen Dank, wie ich merke hat das viel Arbeit gemacht...

Bin dir echt dankbar!

Zu 1. ist plausibel, für die Berechnung: wozu gibt es CAS-Rechner? :)

Zu 2. wie kann man das R, wie du meintest eliminieren?

Nabla aktiv_icon

10:47 Uhr, 18.07.2010

Woher kommt das Minus?

Die Lagrange-Methode heist doch $F (x, y, z) = f (x, y) + λ * φ (x, y)$ !

Yokozuna aktiv_icon

11:13 Uhr, 18.07.2010

$x = R \cdot \cos (u) \cdot \sin (v), y = R \cdot \sin (u) \cdot \sin (v), z = R \cdot \cos (v)$

Dies setzt man in die Ellipsoid-Gleichung ein:

$2 \cdot x^{2} + \frac{1}{4} \cdot y^{2} + z^{2} = 1 \Rightarrow$

$2 \cdot {(R \cdot \cos (u) \cdot \sin (v))}^{2} + \frac{1}{4} \cdot {(R \cdot \sin (u) \cdot \sin (v))}^{2} + {(R \cdot \cos (v))}^{2} = 1$

$2 \cdot R^{2} \cdot \cos^{2} (u) \cdot \sin^{2} (v) + \frac{1}{4} \cdot R^{2} \cdot \sin^{2} (u) \cdot \sin^{2} (v) + R^{2} \cdot \cos^{2} (v) = 1$

$R^{2} \cdot (2 \cdot \cos^{2} (u) \cdot \sin^{2} (v) + \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (u) \cdot \sin^{2} (v) + \cos^{2} (v)) = 1$

$R (u, v) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \cos^{2} (u) \cdot \sin^{2} (v) + \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (u) \cdot \sin^{2} (v) + \cos^{2} (v)}}$

Anfangs sieht es ja danach aus, als ob $\vec{r}$ auch von $R$ abhängt, aber $R$ ist auch eine

Funktion von $u$ und $v$ und damit ist auch $\vec{r}$ nur noch eine Funktion von $u$ und $v$ .

Ich habe gerade angefangen, die beiden Gleichungen für mich mal aufzustellen und

da habe ich bemerkt, daß es nicht empfehlenswert ist, gleich alles auszumultiplizieren.

Ich lasse auch das $R (u, v)$ erst mal vor dem Vektor stehen und versuche das

Gleichungssystem in kleinen Schritten niederzukämpfen. Wenn ich neue Erkenntnisse

habe, melde ich mich vielleicht noch mal. Ich bin allerdings heute Nachmittag nicht zu

Hause.

Nabla aktiv_icon

11:16 Uhr, 18.07.2010

Mal ne Frage zur Lagrange Methode, CAS-Rechner spuckt immer Lamba-abhängige x,y,z Lösungen aus!

$F_{x} = 4 λ x + 2 x - 10 F_{y} = \frac{1}{2} λ y + 2 y - 14 F_{z} = 2 λ z + 2 z - 36$

Yokozuna aktiv_icon

11:53 Uhr, 18.07.2010

Ja, die Gleichungen sind richtig. Als vierte Gleichung kommt dann noch die

Nebenbedingung hinzu (Ellipsoidgleichung). Man hat dann 4 Gleichungen für die

4 Variablen $x$ , $y$ , $z$ und $λ$ . Ich habe dann die ersten 3 Gleichungen jeweils nach

$x$ , $y$ und $z$ aufgelöst und das dann in die Nebenbedingung eingesetzt. Das gibt

dann eine Gleichung nur für $λ$ und wenn man die gelöst hat, kann man $x$ , $y$ und $z$

leicht berechnen.

Nabla aktiv_icon

14:40 Uhr, 18.07.2010

War das Minus (oben) nun falsch?

Sag mal, kommen bei dir ganze Zahlen raus für x,y,z?

Bei mir kommen auch 2 Lsg. für Lambda?

$λ_{1} = - 25, 3118 λ_{2} = 21, 1146$

Yokozuna aktiv_icon

15:58 Uhr, 18.07.2010

Ob man

+ λ

oder

- λ

in der Lagrangegleichung schreibt ist egal. Ich hatte

z . B

- λ

verwendet, dann kriege ich die gleichen Werte für

λ

wie Du, aber
mit umgedrehten Vorzeichen. Bei der Berechnung der Werte für

x, y

und

z

wird das
wieder zurechtgerückt, weil ich da ja auch umgedrehte Vorzeichen vor den
lambda-Termen habe.
Ich hatte also:

λ = - 21,1146

x = 0,1157

y = 1,1149

z = 0,8139

Das ist da Minimum mit einem Abstand von

18,8110

.

Für den anderen lambda-Wert bekommt man das Maximum

(\in

etwa auf der
gegenüberliegenden Seite des Ellipsoids):

x = - 0,1008

y = 1,3138

z = - 0,7404

Die beiden Gleichungen, die beim 2. Verfahren entstehen, sehen auch nicht sehr
erfreulich aus. Ich glaube da hilft auch nur eine numerische Lösung.

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