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Minimaler Abstand zwischen Punkten

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Tags: Least Square, Minimierung, Punkttransformation

Esinef aktiv_icon

20:15 Uhr, 22.06.2009

Ich hoffe mir kann jemand bei folgendem Problem helfen. Ich suche da schon einige Zeit lang ne Formel oder nen Lösungsweg.
Ich habe zwei Punktmengen mit jeweils der gleichen Anzahl und mindestens 5 Punkte pro Menge. Also

A, B

mit

A = {a_{0}, ..., a_{n}}; B = {b_{0}, ..., b_{n}}

mit

n \geq

4.Ich suche nun eine affine Transformation

t

die eine der Menge so verschiebt, dass die Punkte möglichst nah beieinander liegen.

t \cdot A = B

.
Ich soll dafür, dass Least Square Verfahren anwenden. Hab mich da grob an Wikipedia orientiert.

A, B

schreibe ich dann als Matrix, so dass in jeder Zeile ein Punkt ist und die Spalte dann die entsprechende Koordinate enthält. Da

t

die Unbekannte ist habe ich die Formel erstmal so umgestellt:

A^{T} \cdot t^{T} = B^{T}

. Für das Verfahren benutze ich nun jeweils nur eine Spalte der

t

und der

B

Matrix. Als Funktionen hab ich dann b_(ij)

= a_{0 j} \cdot t_{i 0} + a_{1 j} \cdot t_{i 1} + a_{2 j} \cdot t_{i 2} + a_{3 j} \cdot t_{i 3}

und ich muss

| | a_{0 j} \cdot t_{i 0} + a_{1 j} \cdot t_{i 1} + a_{2 j} \cdot t_{i 2} + a_{3 j} \cdot t_{i 3} -

b_(ij)

| |

minimieren.
Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter.
Wenn mir jemand sagen kann ob mein Ansatz so richtig ist, und noch besser mir die Formel, wie ich nun die t_(ij) berechne die den Punktabstand minimiere, geben kann wäre ich sehr dankbar. Auch jeder kleinste Hinweis kann mir evntl. schon weiter helfen.

Viele Grüße und Dank im Voraus
Esinef

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

12:42 Uhr, 25.06.2009

Hallo
lass mich mal in meinen Worten formulieren, was ich verstanden habe.
Denn - falls ich recht verstanden habe, dann kann ich evtl. helfen.

Du hast zwei Zahlenreihen,

z . B . :

A_{1} = 11

; A_{2} = 23

; A_{3} = 35

; A_{4} = 48 .

B_{1} = 28

; B_{2} = 61

; B_{3} = 69

; B_{4} = 72 .

Jetzt willst du die eine Zahlenreihe A mit einem konstanten Faktor

K

durchmultiplizieren, so dass möglichst genau die zweite Zahlenreihe

B

rauskommt:

A_{i} \cdot K = B_{i}

Gesucht ist der Faktor

K .

Und wir wollen die Methode der minimalen Fehlerquadrate nutzen.

Nun denn, falls ich das recht verstanden habe, dann folgendes:

Für die Methode der minimalen Fehlerquadrate formulieren wir stets zunächst einen Fehler:

f = A_{i} \cdot K - B_{i}

Diesen Fehler nehmen wir ins Quadrat, um Vorzeichen-unabhängig zu werden. Fehlerquadrat:

F = f \cdot f = (A_{i} \cdot K - B_{i}) \cdot (A_{i} \cdot K - B_{i})

Wir bilden die Summe aller Fehlerquadrate:

Z =

Summe(F) = Summe

[

(A_{i} \cdot K - B_{i}) \cdot (A_{i} \cdot K - B_{i})]

Diese Fehlerquadratsumme wollen wir minimieren.
Minimum

\to

wie immer, Ableitung bilden und Null setzen, die Variable der Ableitung ist in unserem Fall die gesuchte Größe

K .

dZ/dK

= 0 =

Summe

[

A_{i} \cdot (A_{i} \cdot K - B_{i}) + (A_{i} \cdot K - B_{i}) \cdot A_{i}]

dZ/dK

= 0 =

Summe

[

2 \cdot A_{i} \cdot (A_{i} \cdot K - B_{i})]

dZ/dK

= 0 =

2*Summe

[

A_{i} \cdot (A_{i} \cdot K - B_{i})]

0 =

Summe

[

A_{i} \cdot (A_{i} \cdot K - B_{i})]

0 =

Summe

[

A_{i} \cdot A_{i} \cdot K - A_{i} \cdot B_{i}]

0 =

Summe

[

A_{i} \cdot A_{i} \cdot K] -

Summe

[

A_{i} \cdot B_{i}]

0 =

K*Summe

[

A_{i} \cdot A_{i}] -

Summe

[

A_{i} \cdot B_{i}]

K*Summe

[

A_{i} \cdot A_{i}] =

Summe

[

A_{i} \cdot B_{i}]

K =

Summe

[

A_{i} \cdot B_{i}]

geteilt_durch Summe

[

A_{i} \cdot A_{i}]

Und das ist schon die Lösung.

Zur Plausibilisierung nehmen wir das Zahlenbeispiel oben:

A_{1} = 11

; A_{2} = 23

; A_{3} = 35

; A_{4} = 48 .

B_{1} = 28

; B_{2} = 61

; B_{3} = 69

; B_{4} = 72 .

Summe

[

A_{i} \cdot B_{i}] = 11 \cdot 28 + 23 \cdot 61 + 35 \cdot 69 + 48 \cdot 72 = 7582

Summe

[

A_{i} \cdot A_{i}] = 11 \cdot 11 + 23 \cdot 23 + 35 \cdot 35 + 48 \cdot 48 = 4179

K =

Sum

[

A_i*B_i] durch Sum[A_i*A_i]

= 7582

durch

4179 = 1.8143

Und das dürfte so in etwa hinkommen (

-

nein, das ist mathematisch exakt). Wenn wir die Zahlenreihe A mit

1.8143

multiplizieren, kommen wir auf die Zahlenreihe

C,

die zwar mal zu klein, mal zu groß, im Durchschnitt aber grob etwa so groß wie die Zahlenreihe

B

aussieht.

A_{1} = 11

; A_{2} = 23

; A_{3} = 35

; A_{4} = 48 .

C_{1} = 20

; C_{2} = 42

; C_{3} = 63.5; C_{4} = 87

= A_{i} \cdot K

B_{1} = 28

; B_{2} = 61

; B_{3} = 69

; B_{4} = 72 .

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