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Minimaler Abstand zwischen zwei Ellipsen
Universität / Fachhochschule
Tags: Ellipse, minimaler Abstand, Überlappungsfläche, Verzerrung
 
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Hallo, das ist meine erste Frage/ Beitrag hier im Forum und hoffe, dass ich an der richtigen Stelle im Forum angelangt bin. Ich suche eine analytische Lösung um den minimalen Abstand von zwei verzerrten Kreisen (Ellipsen), die sich nicht schneiden bzw. überlappen, zu ermitteln. In der Ausgangssituation sind zwei Kreise mit gleichem Radius in einer Ebene durch ihre Koordinatenmittelpunkte positioniert (überlappen sich nicht). Nun wird die Ebene um einen Faktor größer in X-Richtung gedehnt, gleichzeitig folgt eine Querdehnung die kleiner 1 ist und sich aus der Hauptdehnung (Dehnung in x-Richtung) ergibt. Die Kreise (und ihre Mittelpunkte) dehnen sich mit der Ebene gleichermaßen mit und verzerren sich zu einer Ellipse. Im ungezerrten Zustand (Kreise) ist die Ermittlung des minimalen Abstand einfach: dminimal = Betrag(P1(x1,y1)-P2(x2,y2))-2*Radius (mit für den jeweiligen Mittelpunkt). Jetzt stellt sich die Frage: wie sieht eine analytische Lösung für den gedehnten Zustand aus um den minimalen Abstand zu ermitteln? Ich habe mir eine Lösung hergeleitet, die aber wenn nur eine Näherungslösung für kleine Dehnungen darstellt, da sie auf der Annahme beruht, dass die gesuchte minimale Strecke (wie beim ungedehnten Zustand als Kreis auch) auf dem Vektor von Mittelpunkt zu Mittelpunkt liegt. Wenn ich mir dies graphisch darstellen lasse und die Dehnung sehr groß gestalte, sehe ich eindeutig, dass dies nicht der Fall ist und es einen kleineren Abstand gibt (außer die beiden Kreismittelpunkte liegen auf der oder y-Achse). Wenn ihr Anschauungsmaterial oder meine Näherungslösung sehen wollt, kann ich diese nachtragen. Vielen Dank, Gruß, Philipp Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Nun wird die Ebene um einen Faktor größer in X-Richtung gedehnt, Wie hat man sich das vorzustellen? Wird einfach jede x-Koordinate mit einem Faktor multipliziert? . die Kreismittelpunkte wandern auch und nur die y-Achse ist fest? gleichzeitig folgt eine Querdehnung die kleiner 1 ist und sich aus der Hauptdehnung (Dehnung in x-Richtung) ergibt. Und wie ergibt sich diese "Querdehnung". Soll es sich dabei um eine Stauchung in y-Richtung handeln, bei der die x-Achse fest ist? Und wie genau hängt dann der Stauchungsfaktor mit dem Streckungsfaktor zusammen? |
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Ich habe die Situation in Matlab visualisiert. Ich glaube das beantwortet deine Frage. In dem Plot ist der gedehnte (Ellipsen) und ungedehnte (Kreise) Zustand zu sehen. Hier in dem Beispiel wurde um gedehnt Der Dehnungsfaktor in Richtung ist Ex=1.5 (ex=0.5). Die Querdehnung ergibt sich über (Stichwort "Possionzahl") ey=-v*ex (hier Ey=1+ey. Das Bild ist hoffentlich im Anhang. Scheint aber nicht zu klappen, da ich es nicht im Post sehe... |
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Eine ausreichende Verbalantwort hätte schon genügt. Eine Visualisierung ist nicht sichtbar geworden. Möglicherweise liegt es an der Größenbeschränkung von kB, die es hier gibt. Warum beantwortest du nicht einfach die gestellten Fragen anstelle weiter im Fachjargon von Dehnungsfaktoren, mal Ex, mal ex zu sprechen? Ein Faktor ist ein Operand einer Multiplikation und daher stellt sich die Frage, was wird womit multipliziert. Meine konkrete Frage war, ob jede x-Koordinaten mit einem festen Faktor (oder von mir aus auch Ex) multipliziert wird oder nicht - die Punkte auf der y-Achse für die Transformation also Fixpunkte sind. Ich interpretiere deine Antwort als ein ja. Mit "Possionzahl" fange ich nichts an, auch wenn du in Wirklichkeit die "Poissonzahl" meinen solltest und ich bin einfach zu bequem, das jetzt zu suchen und mich einzulesen. "Der Zusammenhang zwischen und scheint deiner Antwort nach zu sein, wenn ich die (vermutlich materialabhängig?) als lese. Ich gehe davon aus, dass offenbar nicht größer als also dein nicht größer als 3 wird? Andernfalls käme noch eine Spiegelung an der x-Achse dazu, da negativ wird. Unter der Voraussetzung, dass meine Annahmen richtig sind, zeigt mein Screenshot exemplarisch eine solche Situation. Man sieht deutlich, dass die mittransformierte kürzeste Distanz zwischen den beiden Ausgangskreisen (rot strichliert) wenig mit dem gesuchten Abstand(dick rot) zu tun hat. Warum reicht dir eigentlich keine numerische Lösung mit Matlab? Muss es unbedingt eine symbolische, analytische Lösung sein. Ich bin mir noch nicht sicher, ob die Beschränkung auf kongruente Ellipsen mit parallelen Achsen das Problem hinreichend simplifiziert, sodass das sich das ergebende Gleichungssystem vernünftig allgemein lösbar lässt.  |
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Um überhaupt was analytisch berechnen zu können, müssten wir uns mal auf die Form einigen, mit der die Ellipsen beschrieben werden. Nähmen wir mal an, es wären die Brennpunkte gegeben und der orthogonal auf der Geraden durch die Brennpunkte liegende Halbmesser, und weiterhin lägen die Brennpunkte der beiden Ellipsen beliebig im zweidimensionalen Raum, liesse sich ein Gleichungssystem aufstellen, welches einem Optimierungsprozess bezüglich der Punktabstände unterworfen werden könnte. Ich trage mich sogar in der leichten Hoffnung, dafür einen erträglichen Lösungsprozess erarbeiten zu können. |
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Um überhaupt was analytisch berechnen zu können, müssten wir uns mal auf die Form einigen, mit der die Ellipsen beschrieben werden. ich denke, dass das dem Fragesteller schnurzpiepegal ist. Der will eine Formel, in die er die beiden Kreismittelpunkte, den gemeinsamen Radius und die Größen und reinschmeißt und rauskommen soll der kürzeste Abstand. Wie wir da die Gleichungen aufstellen und parametrisieren oder ob wir das Ganze in der Argand-Ebene modellieren und die Vorteile der komplexen Zahlen ausnutzen, ist da doch unerheblich. Nähmen wir mal an, es wären die Brennpunkte gegeben Das sind sie mal von Haus aus nicht - gegeben sind nur die oben erwähnten Größen, die die Lage und Größe der beiden Ausgangskreise festlegen und die Transformation beschreiben. Aber wenn du die Brennpunkte benötigst, lassen sie sich ja leicht daraus bestimmen. Ich trage mich sogar in der leichten Hoffnung, dafür einen erträglichen Lösungsprozess erarbeiten zu können. Lass dich bloß nicht davon abhalten ;-) |
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Ja du hast es eindeutig erfasst. Der Zusammenhang vy:=1/3⋅(4−vx) ist richtig und deine Zeichnung sieht sogar haargenau wie meine aus. Die Berechnung ist Teil einer aufwendigen Simulation, in der Tausende bis Hundertausende Abstände innerhalb eines komplexen Netzwerkes berechnet werden. Eine analytische Lösung ist unter diesen Umständen am effizientesten. Je nach numerischer Lösung würde der Zeitaufwand explodieren. Die Dehnung geht in der Simulation seltenst über (vx=0.1) ist also weit entfernt von 4. Meistens liegt die Obergrenze bei vx=0.01 und daher sieht es optisch noch nach einer guten Näherungslösung aus wenn man die "mittransformierte" nehmen würden. Eine Näherungslösung für den minimalen Abstand möchte ich aber vermeiden, da dieser Abstand in späteren Rechnungen in eine Potenz von exp(10*Abstand]) verwendet wird, wobei Abstand ungefähr Werte vo annehmen kann. Daher brauche ich möglichst eine exakte Lösung. Danke für deine Mühe. |
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So wie pleindespoir denke auch ich, dass eine analytische Lösung zu finden sein sollte, da die beiden Ellipsen de facto ja vermöge einer einfachen Translation zusammenhängen. Vielleicht finde ich morgen Zeit, mich der Sache eingehender zu widmen, sofern nicht pleindespoir schneller ist ;-) |
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Ja sehr gut. Ich bleibe natürlich auch am Ball:-), auch wenn ich mir momentan schwer eine exakte Lösung vorstellen kann. |
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Achja... Gleiche Situation, nur jetzt überlappen sich die beiden Kreise im Anfangszustand. Ist die Überlappungsfläche der Ellipsen (gedehnter Zustand) gleich der Überlappungsfläche der beiden Kreise (ungedehnter Zustand) mal den beiden Skalierungsfaktoren ("Dehungsfaktoren)? also A_ü_Ellipsen=A_ü_Kreise*Ex*Ey ? Die Überlappungsfläche zweier gleichgroßer Kreise habe ich mir hergeleitet: A_ü_Kreise=2*Radius^2*acos(d*.5/Radius)-sqrt(4*Radius^2-d^2)*0.5, wobei der Abstand von Mittelpunkt zu Mittelpunkt ist |
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A_ü_Ellipsen=A_ü_Kreise*Ex*Ey ? Sollte so hinkommen. A_ü_Kreise=2*Radius^2*acos(d*.5/Radius)-sqrt(4*Radius^2-d^2)*0.5, Kaum lesbar, aber ich denke doch, das da vor oder nach der Wurzel ein Faktor fehlt |
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genau, im letzten Term kommt fehlt noch das . |
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Edit: vergiss es - war Käse |
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Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Ellipsen liegt auf der Winkelhalbierenden der die Brennpunkte kreuzweise verbindenden Geraden. Das bezweifle ich! EDIT: Ah! Sehe, dass du das auch gerade erkannt und deinen Beitrag editiert hast. |
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Ich denke, dass die kürzeste Distanz der zwei Ellipsen dadurch definiert wird, wenn zwei Tangenten parallel laufen und die Normale zwischen ihnen minimal wird. Die Normale wird dann minimal, wenn sie durch den Schnittpunkt der zwei Verbindungslinien geht, die durch kreuzweises Verbinden der Brennpunkte entstehen. Es scheint auch so, dass die Verbindungslinie der zwei Mittelpunkte auch immer durch diesen Schnittpunkt geht. Ich habe das im Anhang visualisiert. Hoffe das Hochladen klappt diesmal   |
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Ja, es ist fast genau so, wie du es schreibst. wenn zwei Tangenten parallel laufen und die Normale zwischen ihnen minimal wird. Das würden sich auch bei nicht-schneidenden Ellipsen Punkte mit parallelen Tangenten finden lassen, die den Abstand Null haben gemeinsame Tangenten der beiden Ellipsen!) Das Wesentliche ist, dass die Verbindung der Berührpunkte dieser parallelen Tangenten normal zu eben diesen Tangenten stehen muss. Ihr Abstand ist dann auch schon der gesuchte Minimalabstand. Die Brennpunktsverbindungen scheinen da nicht viel zu bringen. Dieser Schnittpunkt ist immer der Mittelpunkt der Verbindung der beiden Ellipsenmittelpunkte. Wenn es gelingt, aus diesem Punkt die Normale auf eine der Ellipsen zu fällen, hätte man gewonnen. Die kürzeste Distanz verbindet auch immer einen Ellipsenpunkt mit dem verschobenen Antipodenpunkt. Also man nehme einen Punkt auf Ellipse 1 und spiegelt ihn am Mittelpunkt dieser Ellipse um den Punkt zu erhalten. Dieser wird nun einer Translation mit dem Vektor unterworfen, wodurch wir den Punkt auf Ellipse 2 erhalten. Die gesuchte Lösung ist jener Punkt (es gibt deren zwei, nur einer führt zum Minimum), für den dann die Verbindung normal zur Tangente an Ellpse steht. Sowohl in kartesischen Koordinaten, als auch in Parameterdarstellung gerechnet führt das aber leider auf Gleichungen, die sich einer elementaren analytischen Lösung widersetzen Mal sehen, ob pleindespoir Grund zur Hoffnung gibt ;-) |
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Inzwischen ist es mir gelungen, eine Ellipse unter Angabe der beiden Radien zu modellieren und mit beliebigem Mittelpunkt (x_M|y_M) auf dem Koordinatensystem umherzuschieben. Weiterhin kann ich das Konstrukt auch um den Mittelpunkt mit beliebigem Winkel drehen - die horizontale Verbindung zwischen den Brennpunkten ist also keine Voraussetzung mehr. Überhaupt bietet die Betrachtung des Problems von den Brennpunkten aus eher verführerische Fehlschlüsse (siehe gelöschte Heureka-Meldung in den frühen Morgenstunden), als rechnerische Bequemlichkeit. Wenn die zweite Ellipse näherungsweise als Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung betrachtet werden dürfte, sähe ich der weiteren Entwicklung des Lösungsweges zur Berechnung des kleinsten Abstandes einigermaßen optimistisch entgegen. Mit zwei "völlig frei schwebenden" Ellipsen schließe ich die arithmetische Berechenbarkeit nicht als sicher beweisbar unmöglich aus, schätze aber, dass zur Darstellung der geschlossenen Lösungsformel etwa eine Rauhfasertapetenrolle im Querformat notwendig werden dürfte. Ich erwarte daher unbedingte Rückmeldung des Fragestellers zu Abklärung der Randbedingungen, bevor ich mich der Bearbeitung dieses Themas weiterhin befleissige. |
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Also gegeben sind zwei gleichgroße Kreise (gleicher Radius die sich beliebig in einer Ebene zueinander anordnen können, solange sie sich nicht schneiden bzw. überlappen. Die Koordinaten der zwei Mittelpunkte und der Radius sind bekannt. Nun wird das Gebilde gedehnt. Die Hauptdehnung ex (zb. -->ex=0.1) ist in X-Richtung. Somit werden alle Koordianten um den Faktor Ex=ex+1 gedehnt. Durch die Hauptdehnung entsteht eine Querdehnung ey, diese wird aus der Hauptdehnung über eine Querkontraktionszahl über den Zusammenhang ey=-v*ex ermittelt. Sodass alle Punkte um den Faktor Ey=1+ey gestaucht werden. Der Zusammenhang zwischen Ey und Ex ist also: Ey=1-v*(Ex-1). Die Dehnung ex (bzw. Ex) und sind bekannt. Aus den Kreisen (ungedehnter Zustand) werden durch die Dehnung Ellipsen (gedehnter Zustand). Wenn ich die Ellipsengleichung nehme, zeigt sich dass ich für a=Ex*R und b=Ey*R nehmen kann 1=(x/(Ex*R))^2+(y/(Ey*R))^2. Hoffe die Randbedingungen sind damit klar. |
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@pleindespoir Ich fürchte, dass du dem Thread hier nicht wirklich gefolgt bist und nur ein paar wenige Begriff wie "Minimalabstand von zwei Ellipsen" aufgeschnappt hast. Sonst könntest du wohl sonst nicht von Drehungen in der Ebene reden oder davon, dass eine Ellipse annähernd ein Kreis sein möge (was für eine exakte analytische Lösung im Grunde ohne Bedeutung sein sollte). Ich hatte ja auch schon zwei Abbildungen gepostet, die du dir zu Gemüte führen kannst und auch vom Fragesteller gibts mittlerweile Anschauungsmaterial. Für dich nun die Kurzform ohne den Ballast des Dehnens und Stauchens: In der Ebene liegen zwei, einander nicht schneidende, kongruente Ellipsen, mit parallelen Achsen. Gesucht ist der Minimalabstand. Die Hauptachsen beider Ellipsen liegen jeweils parallel zur Abszissenachse. Die Ellipsen können also durch eine simple Translation ineinander übergeführt werden. Da es nur auf die relative Lage der Ellipsen zueinander ankommt, kann man oBdA den Mittelpunkt einer der Ellipsen im Koordinatenursprung annehmen. Weiterführende Überlegungen zu diesem Minimalabstand und wo er zu finden sein müsste kannst du Beiträgen weiter oben entnehmen. Unser aller Hoffnungen ruhen auf dir! ;-)  |
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In der Tat habe ich die Aufgabenstellung nicht wirklich mental verarbeitet - ich brauche Mathe, um mich von meinen profanen Problemstellungen des täglichen Lebens abzulenken. Das gelingt einerseits ganz gut, weil die Aufgaben meist einiges an Konzentration abfordern - andererseits passe ich auch nicht immer richtig auf, weil ich meine emotionalen Bürden nicht völlig hinter mir lassen kann. Inzwischen habe ich auch schon festgestellt, dass ich weit über das Ziel hinaus anvisiert habe und bitte um Nachsicht. Meine ultrakomplzierte Modellierung werde ich nun mal für einen späteren Fall abspeichern, der vielleicht nie mehr eintreten wird ... Ich mach dann mal einen kompletten Neustart nach dem letzen Abendmahl des heutigen Tages. A bientôt donc ! |
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So meine Lösung ist in den 3 Bilder im Anhang dargestellt. Bevor ich aber die aufwendige Ableitung der Formel durchführe und nach dem gesuchtem Wert auflöse, hätte ich gerne noch eine Überprüfung eurerseits, ob das denn alles so richtig ist. Auch bin ich mir noch relativ unsicher wie ich mit dem beiden möglichen Vorzeichens vor den Wurzeln umgehen soll. Muss da eine Fallunterscheidung vorgenommen werden?    |
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Theoretisch müsste freilich eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, aber wenn man den einen Kreis im Mittelpunkt und den anderen Kreis im ersten Quadranten läßt, spart man sich die Vorzeichenwechselei, die ja nicht wirklich zu neuen Erkenntnissen führt, sondern das Monster nur wie eine Hydra vervielfacht. Die vollständig arithmetische Lösung ist aber dann trotzdem nicht möglich, jedoch liebäugele ich mit einer Näherungsformel, um dem Monster einige Terme mit möglichst geringem Blutverlust extirpieren zu können. Die groß wird der Streck/Dehnungsfaktor den höchstens werden? so von der Größenornung her bis 2 oder bis 12 oder ... ? Da es sich ja wohl um ein physikalisches Problem handelt, gibt es bestimmt Grenzen des Sinnvollen. |
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@pleindespoir Die groß wird der Streck/Dehnungsfaktor den höchstens werden? Wie Matpro oben geschrieben hat handelt es sich eher um sehr harmlose Abweichungen von der Kreisform.: "Die Dehnung geht in der Simulation seltenst über (vx=0.1) ist also weit entfernt von 4. Meistens liegt die Obergrenze bei vx=0.01 " Allerdings schreibt er auch "Eine Näherungslösung für den minimalen Abstand möchte ich aber vermeiden, da dieser Abstand in späteren Rechnungen in eine Potenz von exp(10*Abstand]) verwendet wird, wobei Abstand ungefähr Werte vo 0−2 annehmen kann." Die Akzeptanz einer Näherungsformel wird also davon abhängig sein, ob und vor allem wie hoch du den "Blutverlust" beziffern kannst. @Matpro Möchtest du uns vielleicht verraten, worum konkret es bei deiner Anwendung geht? Ich werd langsam neugierig ;-) Irgendwie scheint sich abzuzeichnen, dass mit keiner allgemeinen, symbolischen analytischen Lösung zu rechnen ist. |
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Eventuell eine Lösungsmöglichkeit: ´ ´ Wolfram: mfG Atlantik  |
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@Atlantik Lieb, aber hast du denn wirklich überhaupt nicht verstanden, worum es in der Frage ging? |
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Ich habe nun die komplette Lösung ausgearbeitet. Die Lösung ist vom Vorgehen wie oben im Ansatz beschrieben. Wenn ich die Abstandsfunktion (im letzen Bild zu sehen) in Matlab ableiten und nach dem gesuchten Wert auflösen lasse, bekomme ich im Plot die anscheinend richtige Lösung dargestellt. Auch meine Vermutung "Ich denke, dass die kürzeste Distanz der zwei Ellipsen dadurch definiert wird, wenn zwei Tangenten parallel laufen und die Normale zwischen ihnen minimal wird. Die Normale wird dann minimal, wenn sie durch den Schnittpunkt der zwei Verbindungslinien geht, die durch kreuzweises Verbinden der Brennpunkte entstehen.", bestätigt sich im Plot. Wichtig ist eine Fallunterscheidung wegen den Vorzeichen der Wurzeln. Die Fallunterscheidung wird getroffen durch den Vergleich der Positionen der Ellipsenmittelpunkte. Die beiden Wurzeln in der Abstandsfunktion kann man zusammenfassen zu einer Wurzel oder keiner (triviale Lösung). Wenn ym2>ym1 ist, dann muss das Vorzeichen positiv genommen werden, wenn ym2<ym1 dann negativ. Die nächste Fallunterscheidung betrifft die Koordinaten der Ellipsenmittelpunkte, da zwei Lösungen für auftreten (im Bild schwarz und mangenta Verbindungslinie). Wenn xm1<xm2 dann ist die kürzeste Distanz die Mangentafarbene (wie im Beispiel), falls nicht dann ist's die Schwarze.    |
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in Matlab ableiten und nach dem gesuchten Wert auflösen lasse, Also für konkrete Werte den Minimalabstand mit den numerischen Methoden eines Programms zu bestimmen ist ja eher trivial. So sind doch auch die Plots entstanden, die ich vor 5 Tagen gepostet hatte. Ich hatte damals ja auch zur Sicherheit noch nachgefragt "Warum reicht dir eigentlich keine numerische Lösung mit Matlab? Muss es unbedingt eine symbolische, analytische Lösung sein." Wenn ich dich nicht missverstanden habe, so hattest du doch eine geschlossene analytische Lösung gesucht, also eine allgemeine Formel? Du hast geschrieben "Ich suche eine analytische Lösung". Die Bedingungen aufzustellen, dann aber die Gleichung für konkrete Werte numerisch ermitteln zu lassen entspricht nicht dieser Forderung. Oder hab ich deinen letzten Beitrag missverstanden und du hast eine symbolische Lösung mithilfe von Matlab erhalten?? |
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"Lieb, aber hast du denn wirklich überhaupt nicht verstanden, worum es in der Frage ging?" In der Überschrift steht: Minimaler Abstand zwischen zwei Ellipsen mfG Atlantik |
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In der Überschrift steht: Minimaler Abstand zwischen zwei Ellipsen Bravo! Fehlerfrei gelesen. Und mehr als die Überschrift zu lesen war dir zu mühsam, oder was? *kopfschüttel* |
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Eine analytische allg. Formel, die mir den kürzesten Abstand ausgibt, habe ich ja jetzt gefunden. Nur die aufwendige Ableitung und die noch aufwändigere Lösung der Gleichung lasse ich von Matlab durchführen. Matlab hat eine Toolbox "Symbolic Math Toolbox" die sowas kann. Die ungewollte Alternative wäre eine Näherungslösung oder eine "numerische" Lösung gewesen. Unter numerische Lösung hätte ich sowas gemeint wie: Ich stelle die beiden Ellipsen durch n-diskrete Punkte dar, probiere alle möglichen Abstände der Punktpaare aus und nehme das Punktpaar das den geringsten Abstand hat. Das liefe dann übere mehrere for-Schleifen und das tausend mal wiederholt... würde zu lange dauern. Jetzt habe ich die Formel, alle bekannten Werte eingesetzt und das Ergebnis ist eindeutig der minimale Abstand. |
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Gratuliere! Ich habs inzwischen auch zur Lösungsformel geschafft, hatte aber bisher noch keine Zeit, die fast 20 Zeilen plus Erläuterungen zu formatieren, damits "hübsch" wird. Es hat mich gefreut herauszufinden, dass es wirklich eine Formel für das Problem gibt und man nicht auf Näherungen angewiesen ist. Vielen Dank jedenfalls für die Fragestellung - war sehr interessant! |
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> Matlab hat eine Toolbox "Symbolic Math Toolbox" die sowas kann. Ja, da werkelt MuPad hinter den Kulissen. > Unter numerische Lösung hätte ich sowas gemeint wie: Ich stelle die beiden Ellipsen durch n-diskrete Punkte dar, probiere alle möglichen Abstände der Punktpaare aus und nehme das Punktpaar das den geringsten Abstand hat. Nun, ich verstand unter einer numerischen Lösung, dass man durchaus die entsprechenden Gleichungen oder das Gleichungssystem exakt ansetzt, dann aber die Lösung nur für konkrete Werte den numerischen Algorithmen (meist verbesserte Newton Algos) des Matheprogramms überantwortet. Ich kam zum Beispiel auf die Gleichung (a^2-b^2)*sin(2 phi)= a*Delta x*sin(phi)-b*Delta y * cos(phi) Könnte man diese symbolisch nach phi lösen, hätte man auch die Aufgabe gelöst. Leider hatte ich da aber keine allgemeine Lösung gefunden und auch Onkel Wolfram musste passen und hat erst nach einer kleinen Substitution mit Eingabe von "solve (2*(a^2-b^2)*S*(1-S^2)^0.5= a*x*S-b* y*(1-S^2)^0.5 ) for S" eine höchst abschreckende Lösung ausgespuckt. Ich dachte erst, da du nur Grafiken gepostet hattest, dass du nur für konkrete Zahlenwerte Lösungen berechnen hast lassen und das hat mich dann doch etwas irritiert. Gratulation zur Lösung! Kannst du der Vollständigkeit halber einen Screenshot von der Gleichung/dem Gleichungssystem und der MatLab Lösung posten? |
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"Nun, ich verstand unter einer numerischen Lösung, dass man durchaus die entsprechenden Gleichungen oder das Gleichungssystem exakt ansetzt, dann aber die Lösung nur für konkrete Werte den numerischen Algorithmen (meist verbesserte Newton Algos) des Matheprogramms überantwortet. Ich kam zum Beispiel auf die Gleichung Könnte man diese symbolisch nach lösen, hätte man auch die Aufgabe gelöst. Leider hatte ich da aber keine allgemeine Lösung gefunden und auch Onkel Wolfram musste passen und hat erst nach einer kleinen Substitution mit Eingabe von "solve for S" eine höchst abschreckende Lösung ausgespuckt." Ich muss komischerweise in die Ableitung erst die Werte einsetzten bevor Matlab da eine Lösung durch den solve-Befehl berechnet (Er rechnet ansonsten "unendlich" lange, gleiches bei meinem CAS Taschenrechner). Ich hätte gedacht, dass es keinen Unterschied macht ob ich nun konkrete Werte einsetze oder für die Werte einfach die Symbole nutze. Ist vllt. dann analytisch nicht Lösbar. Ich denke das wird für die Simulation in Ordnung sein. Für mich hat sich das Problem soweit gelöst und kann diese, so denke ich, problemlos in meine Simulation einbauen (zeiteffizient und exakt). Die Matlablösung habe ich im Anhang dargestellt. Danke für eure Unterstützung Roman und pleindespoir  |
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Dann hast du letztlich nun das mit Matlab gefunden, das ich zu Beginn (allerdings mit Mathcad) produziert hatte. :-) Aber wenn das ausreichend ist, nur für konkrete Werte eine (hinreichend genaue) Lösung zu finden, ist das ja optimal. Im Grunde lässt sich die Aufgabe auf eine Gleichung vierten Grades zurückführen - letztlich auch meine goniometrische Gleichung, für die Onkel Wolfram ja durchaus nach ein wenig Nachhilfe eine analytische Lösung parat hatte, die er in der GRatis-Version aber nicht vollständig anzeigte. Mag sein, das auch Matlab, wenn man gewisse Voraussetzungen für die eingegebenen Variablen trifft, auf etwas Symbolisches kommt. Wenn ich pleindespoir richtig verstanden habe, hatte er ja eine 20-zeilige symbolische Lösung gefunden!? Wie auch immer - eine interessante Fragestellung, die so hinterfotzig einfach aussehend daherkommt und es dann faustdick hinter den Ohren hat ;-) |
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Wenn der Mittelpunkt für eine der Ellipsen im Ursprung liegt (Originaltip dafür war von Roman) und der Radius grundsätzlich 1 ist, entlastet das die "Rechenmaschine" bestimmt etwas. Weiterhin habe ich den Dehnungsfaktor nur mit einer Variable im Set, damit wird und für die andere Ellipse gilt dann: und Empfehlenswert ist übrigens, den Mittelpunkt der zweiten Ellipse im Ersten Quadranten unter der Hauptdiagonale zu halten, um mit den Winkelfunktionen keine zu unterscheidenden Fälle zu generieren. Nun "nur noch" den Abstand zwischen den Punkten nach optimieren ... |
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Nun "nur noch" den Abstand zwischen den Punkten nach φ optimieren . Hmm, "nur noch". Dachte das hättest du schon gemacht?? Die von dir erwähnten Zeilen?? Um mit der Aufgabenstellung konform zu gehen müsste dein allerdings ein sein. Hier speziell mit also der Ausdruck . Anstelle das als klassische Extremwertaufgabe zu behandeln, kann man auch fordern, dass der Vektor normal auf den Tangentenvektor in sein soll. So ergibt sich dann die goniometrische Gleichung vom . Darin sind a und halbe Haupt- bzw. Nebenachse der Ellipse(n) und und entsprechen deinem und . |
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