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Minimales Erzeugendensystem der Einheitengruppen
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: Einheitengruppe, minimales Erzeugendensystem, Ring
 
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Hallo :-) Ich soll ein minimales Erzeugendensystem aufstellen von den Einheitengruppen und . Nun kenne ich die Definiton von Einheitengruppen: ist ein Ring mit Eins dann ist element es existiert a element mit ar = ra In diesem Fall sind die ganzen Zahlen unser Ring und ich soll jetzt so darstellen, dass es linear kombinierbar ist aber ich weiß nicht genau wie. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. |
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Hallo, da hast du Vieles falsch verstanden! Ich nehme mal die erste Einheitengruppe (um mir die Schreibarbeit zu erleichtern, schreibe ich statt ). Das ist die Einheitengruppe des Restklassenringes , nicht des Ringes ! Man nennt diese Gruppe auch "prime Restklassengruppe modulo ". Mit kleinsten positiven Resten beschrieben ist . Mit absolut kleinsten Resten schreibt sie sich so: . "Erzeugung" hat hier mit der Bildung von Linearkombinationen nichts zu tun; denn es geht hier ja nicht um Vektorräume, sondern um Gruppen. Gefragt ist nach einer kleinsten Menge von Elementen aus , deren sämtliche Potenzen die ganze Menge bilden. Du musst dir also die Potenzen z.B. von anschauen: , d.h. das Element erzeugt die Teilmenge (Untergruppe) von , alleine erzeugt also nicht ganz . Du musst zu deinem Erzeugendensystem mindestens noch ein weiteres Element hinzunehmen, z.B. , usw. Nun experimentiere mal schön ;-) Gruß ermanus |
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Danke für deine Hilfe ich werde jetzt mal rumprobieren :-) |
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Ich muss mich korrigieren: statt "deren sämtliche Potenzen die ganze Menge E bilden." muss es heißen "deren sämtliche Potenzprodukte die ganze Menge bilden". Wenn dies z.B. die beiden Elemente wären, dann müsste sein. |
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Also ingesamg wird dann erzeugt von und hab ich rausbekommen. Ich hätte da noch eine frage wieso ist der absolut klein betrag ohne und ? Denn wenn ich nur das betrachte wird er von und 7 erzeugt |
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Also erzeugt nimmt man jedes dieser Elemente mit mal, so bekommt man . Damit hat man alle Elemente beisammen, also . ist ein kleinstes Erzeugendensystem; denn die Gruppe ist nicht zyklisch, d.h. es gibt kein Element der Ordnung . Das Betragskleinste Restesystem besteht aus den Resten , deren Betrag innerhalb der Restklasse am kleinsten ist. Als Beispiel betrachte die Restklasse von , das ist die Menge . Von allen diesen Resten hat den kleinsten Betrag. In die Menge der betragskleinsten Vertreter der Restklassen modulo nimmt man also nicht auf, sondern stattdessen den betragskleineren Rest . |
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Ok ich habs jetzt verstanden vielen dank für deine Hilfe:-) |
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Zunächst mal zur Einleitung. Grundsätzlich wprde ich das symmeetrisch machen. Mod sind bei mir also nur zugelassen . Frage: Mir ist bekannt, dass alle Primrestklassengruppen, sprich: Einheitswurzelgruppen zyklisch sind. Ich wollte mch schon immer erkundigt haben: Trifft dies auch auf allgemeine Restklassenringe zu? Einheiten sind hie ralle Zahlen, die zu Teiler fremd sind ( die Nichtnullteiler ) Da die nur Zweierpotenzen enthält, sind dies alle ungerden Zahlen. . ² ³ also zyklisch . |
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Noch zu der Kritik von Ermanus an Fragesteller Ebruu. Ebruu vielleicht solltest du dir doch mal ein algebraskript zu Gemüte führen, was man unter dem Erzeugendensystem einer Gruppe versteht. Weil jene zweite algebraische Operation, die Linearkombination, fehlt ja erst mal auf Gruppen. ( Obwohl - sollte dich das intressieren. Man kann Gruppen auch aufrüsten; was du dann bekommst, ist der Noether / Burnsidesche Gruppenring, der viel mehr leistet als die " nackte " Gruppe für sich. ) |
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@gilgamesch: willst du die Studentin verwirren? Die prime Restklassengruppe modulo 16 ist nicht zyklisch. |
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Ermanus hier was erzählst du denn da für einen Stuss? ist keine Primzahl; seit Wann ist denn ein Primrestklassenkörper? Und auf deinen ausdrücklichen Vorschlag hin haben wir uns überlegt, dass 3 ein Erzeugendes der ist - also zyklisch. |
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Ich habe nicht von Restklassenkörpern gesprochen, auch nicht von Primrestklassenkörpern, sondern von "der primen Restklassengruppe", siehe: de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe Diese hat in unserem Falle die Ordnung 8 und gehört zum Isomorphietyp , also nix mit zyklisch. stehe für eine zyklische Gruppe von Elementen. |
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Um es nochmal ganz klar zu machen: Es bezeichne die von erzeugte zyklische Untergruppe. Dann gilt, wie JEDER (!) leicht nachprüfen kann . Mehr muss man doch wohl wirklich nicht dazu sagen. Dass die Gruppe nicht zyklisch ist, habe ich bereits am 13.9. um 10:31 Uhr klar gesagt. Soviel zu gilgamesch4711s Stuss-Polemik ... P.S.: Dass gilgamesch4711 sich dazu nicht äußert, ist typisch für Menschen, die nicht in der Lage sind, eigene Fehler einzuräumen. Nach deren Aufdeckung machen sie sich lieber klamm heimlich aus dem Staub. Seltsame Art von mathematischem Ethos. |
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Könntest du noch erläutern wie man größere Einheitengruppen wie z.b (Z/40Z) zerlegt ? Also in kleinere Einheiten um ein minimales Erzeugendensystem zu finden. Ich habe einen Satz im Skript gefunden, jedoch versteh ich ihn nicht ganz. Man kann (Z40/Z) zerlegen, da es isomorph ist zu einer zerlegung wie finde ich diese? |
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Ich bin nicht typisch, weie ermanus meint. Natürlich kann ich Fehler zugestehen. Ich kämpfe hier bloß mit ständigen Abstürzen meines Rechners, so dass ich es schließlich aufgegeben habe, mich hier einzuloggen. An sich hast du mir ja am Beispiel der meine Frage beantwortet. Aber mal den Spieß umgedreht: Warst nicht du es, der diese Debatte um los getreten hat? Habe etwa ich von dir darum verlangt, dass du in Sack und Asche gehst? Würd mich aber trotzdem mal intressieren. Auch du gehörst ja gleich mir zu denjenigen, die aus einem 2000_jährigen Dornröschenschlaf der Algebra aufschrecken. Naa; wie fühlt man sich da so? |
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Dank sei Deinem Rechner! Viele nette Grüße an ihn! |
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Hallo ebruu, nun zu deiner primen Restklassengruppe modulo 40: der Satz, den du gefunden hast, ist sicher eine Spielart des chinesischen Restsatzes. Eine besonders kurze Form ist z.B. die: Seien teilerfremde (also relativ prime) natürliche Zahlen, dann hat man einen Ringisomorphismus , der gegeben ist durch mod mod , mod . Dieser Satz ist leicht auf mehr als zwei paarweise teilerfremde Faktoren erweiterbar. Man kann sich leicht klarmachen, dass die Einheitengruppen einer entsprechenden Zerlegung unterliegen: . Wir haben in unserem Falle also den Gruppenisomorphismus . Nun untersuchen wir dessen rechte Seite: Es ist . Es bezeichne die zyklische Untergruppe von , die von mod erzeugt wird. Dann ist , also vom Typ . ist die multiplikative Gruppe des Körpers und als solche bekanntermaßen zyklisch, was man hier aber auch konkret nachrechnen kann. Sie wird z.B. von mod erzeugt: Die rechte Seite von können wir damit als auffassen. Damit haben wir für die rechte Seite von die 3 Erzeugenden mod mod mod mod mod mod . Nun müssen wir die entsprechenden Elemente dazu auf der linken Seite von finden. Erstes erzeugendes Element: suche ein mod mit der Eigenschaft: mod und mod : Die passenden Reste gemäß der ersten Kongruenz sind . Offenbar erfüllt unseren Zweck. Nun verfahre analog mit den anderen beiden Erzeugenden ... Gruß ermanus |
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Da die Studentin mittlerweile wohl anderweitig beschäftigt ist, hier noch das Endergebnis: Eine Darstellung von als direktes Produkt zyklischer Untergruppen ist . Sie ist vom Typ . |
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