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Minimales Erzeugendensystem der Einheitengruppen

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Einheitengruppe, minimales Erzeugendensystem, Ring

 
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Studentin432

Studentin432 aktiv_icon

09:31 Uhr, 13.09.2018

Antworten
Hallo :-)
Ich soll ein minimales Erzeugendensystem aufstellen von den Einheitengruppen (Z16Z) und (Z40Z).

Nun kenne ich die Definiton von Einheitengruppen: R ist ein Ring mit Eins dann ist R:={r element R| es existiert a element R mit ar = ra =1}

In diesem Fall sind die ganzen Zahlen unser Ring und ich soll jetzt Z so darstellen, dass es linear kombinierbar ist aber ich weiß nicht genau wie.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.


Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:23 Uhr, 13.09.2018

Antworten
Hallo,
da hast du Vieles falsch verstanden!
Ich nehme mal die erste Einheitengruppe E:=(Z/16Z)*
(um mir die Schreibarbeit zu erleichtern, schreibe ich Z statt ).
Das ist die Einheitengruppe des Restklassenringes Z/16Z, nicht des Ringes Z !
Man nennt diese Gruppe auch "prime Restklassengruppe modulo 16".
Mit kleinsten positiven Resten beschrieben ist

E={1,3,5,7,9,11,13,15}.

Mit absolut kleinsten Resten schreibt sie sich so:

E={1,3,5,7,-7,-5,-3,-1}.

"Erzeugung" hat hier mit der Bildung von Linearkombinationen
nichts zu tun; denn es geht hier ja nicht um Vektorräume, sondern
um Gruppen.

Gefragt ist nach einer kleinsten Menge von Elementen aus E,
deren sämtliche Potenzen die ganze Menge E bilden.
Du musst dir also die Potenzen z.B. von 3 anschauen:
30=1,31=3,32=9,33=27=11,34=33=1, d.h. das Element 3
erzeugt die Teilmenge (Untergruppe) {1,3,9,11} von E,
3 alleine erzeugt also nicht ganz E. Du musst zu deinem
Erzeugendensystem mindestens noch ein weiteres Element hinzunehmen,
z.B. 5, usw.
Nun experimentiere mal schön ;-)
Gruß ermanus


Studentin432

Studentin432 aktiv_icon

10:26 Uhr, 13.09.2018

Antworten
Danke für deine Hilfe ich werde jetzt mal rumprobieren :-)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:31 Uhr, 13.09.2018

Antworten
Ich muss mich korrigieren:

statt
"deren sämtliche Potenzen die ganze Menge E bilden."
muss es heißen
"deren sämtliche Potenzprodukte die ganze Menge E bilden".

Wenn dies z.B. die beiden Elemente a,bE wären, dann müsste
E={arbsr,s} sein.

Studentin432

Studentin432 aktiv_icon

11:57 Uhr, 13.09.2018

Antworten
Also ingesamg wird E dann erzeugt von 3,5,7 und 13 hab ich rausbekommen.

Ich hätte da noch eine frage wieso ist der absolut klein betrag ohne 9,13 und 15?
Denn wenn ich nur das betrachte wird er von 3,5 und 7 erzeugt
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:32 Uhr, 13.09.2018

Antworten
Also 3 erzeugt {1,3,9,11} nimmt man jedes dieser
Elemente mit 5 mal, so bekommt man {5,15,13,7}.
Damit hat man alle Elemente beisammen, also
(Z/16Z)*={3r5sr=0,1,2,3,s=0,1}.
{3,5} ist ein kleinstes Erzeugendensystem; denn die Gruppe ist
nicht zyklisch, d.h. es gibt kein Element der Ordnung 8.

Das Betragskleinste Restesystem besteht aus den Resten x, deren Betrag
x innerhalb der Restklasse am kleinsten ist.

Als Beispiel betrachte die Restklasse von 11, das ist die Menge
{...,-37,-21,-5,11,27,...}. Von allen diesen Resten hat -5 den kleinsten
Betrag. In die Menge der betragskleinsten Vertreter der Restklassen
modulo 16 nimmt man also nicht 11 auf, sondern stattdessen den betragskleineren
Rest -5.

Frage beantwortet
Studentin432

Studentin432 aktiv_icon

12:48 Uhr, 13.09.2018

Antworten
Ok ich habs jetzt verstanden vielen dank für deine Hilfe:-)
Antwort
gilgamesch4711

gilgamesch4711 aktiv_icon

15:00 Uhr, 13.09.2018

Antworten
Zunächst mal zur Einleitung. Grundsätzlich wprde ich das symmeetrisch machen. Mod 16 sind bei mir also nur zugelassen




    0,±(1,... ,7);8    (1)



Frage: Mir ist bekannt, dass alle Primrestklassengruppen, sprich: Einheitswurzelgruppen zyklisch sind. Ich wollte mch schon immer erkundigt haben: Trifft dies auch auf allgemeine Restklassenringe zu? Einheiten sind hie ralle Zahlen, die zu 16 Teiler fremd sind ( die Nichtnullteiler ) Da die 16 nur Zweierpotenzen enthält, sind dies alle ungerden Zahlen.


    G16={1,3,5. 7}    (2)




    30=1,31=3,3 ² =(-7),3 ³ =(-5);34=1    (3)



also zyklisch .

Antwort
gilgamesch4711

gilgamesch4711 aktiv_icon

15:11 Uhr, 13.09.2018

Antworten
Noch zu der Kritik von Ermanus an Fragesteller Ebruu. Ebruu vielleicht solltest du dir doch mal ein algebraskript zu Gemüte führen, was man unter dem Erzeugendensystem einer Gruppe versteht. Weil jene zweite algebraische Operation, die Linearkombination, fehlt ja erst mal auf Gruppen. ( Obwohl - sollte dich das intressieren. Man kann Gruppen auch aufrüsten; was du dann bekommst, ist der Noether / Burnsidesche Gruppenring, der viel mehr leistet als die " nackte " Gruppe für sich. )
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:23 Uhr, 13.09.2018

Antworten
@gilgamesch: willst du die Studentin verwirren?
Die prime Restklassengruppe modulo 16 ist nicht zyklisch.
Antwort
gilgamesch4711

gilgamesch4711 aktiv_icon

13:26 Uhr, 14.09.2018

Antworten
Ermanus hier was erzählst du denn da für einen Stuss? 16 ist keine Primzahl; seit Wann ist denn /16 ein Primrestklassenkörper? Und auf deinen ausdrücklichen Vorschlag hin haben wir uns überlegt, dass 3 ein Erzeugendes der G16 ist - also zyklisch.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:33 Uhr, 14.09.2018

Antworten
Ich habe nicht von Restklassenkörpern gesprochen, auch nicht von Primrestklassenkörpern,
sondern von "der primen Restklassengruppe", siehe:
de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe

Diese hat in unserem Falle die Ordnung 8 und gehört zum Isomorphietyp Z4×Z2,
also nix mit zyklisch.
Zn stehe für eine zyklische Gruppe von n Elementen.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:35 Uhr, 14.09.2018

Antworten
Um es nochmal ganz klar zu machen:
Es bezeichne <a> die von a erzeugte zyklische Untergruppe.
Dann gilt, wie JEDER (!) leicht nachprüfen kann
(Z/16Z)*=<3>×<-1>.
Mehr muss man doch wohl wirklich nicht dazu sagen.
Dass die Gruppe nicht zyklisch ist, habe ich bereits
am 13.9. um 10:31 Uhr klar gesagt.
Soviel zu gilgamesch4711s Stuss-Polemik ...

P.S.: Dass gilgamesch4711 sich dazu nicht äußert, ist typisch
für Menschen, die nicht in der Lage sind, eigene Fehler
einzuräumen. Nach deren Aufdeckung machen sie sich lieber
klamm heimlich aus dem Staub.
Seltsame Art von mathematischem Ethos.

Studentin432

Studentin432 aktiv_icon

10:51 Uhr, 15.09.2018

Antworten
Könntest du noch erläutern wie man größere Einheitengruppen wie z.b (Z/40Z) zerlegt ?
Also in kleinere Einheiten um ein minimales Erzeugendensystem zu finden.
Ich habe einen Satz im Skript gefunden, jedoch versteh ich ihn nicht ganz.

Man kann (Z40/Z) zerlegen, da es isomorph ist zu einer zerlegung wie finde ich diese?
Antwort
gilgamesch4711

gilgamesch4711 aktiv_icon

11:50 Uhr, 15.09.2018

Antworten
Ich bin nicht typisch, weie ermanus meint. Natürlich kann ich Fehler zugestehen. Ich kämpfe hier bloß mit ständigen Abstürzen meines Rechners, so dass ich es schließlich aufgegeben habe, mich hier einzuloggen.
An sich hast du mir ja am Beispiel der G16 meine Frage beantwortet.
Aber mal den Spieß umgedreht: Warst nicht du es, der diese Debatte um 2 los getreten hat? Habe etwa ich von dir darum verlangt, dass du in Sack und Asche gehst? Würd mich aber trotzdem mal intressieren. Auch du gehörst ja gleich mir zu denjenigen, die aus einem 2000_jährigen Dornröschenschlaf der Algebra aufschrecken. Naa; wie fühlt man sich da so?
Antwort
Matheboss

Matheboss aktiv_icon

12:26 Uhr, 15.09.2018

Antworten
Dank sei Deinem Rechner!
Viele nette Grüße an ihn!
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:28 Uhr, 16.09.2018

Antworten
Hallo ebruu,
nun zu deiner primen Restklassengruppe modulo 40:
der Satz, den du gefunden hast, ist sicher eine Spielart
des chinesischen Restsatzes.
Eine besonders kurze Form ist z.B. die:

Seien m,n0 teilerfremde (also relativ prime) natürliche Zahlen,
dann hat man einen Ringisomorphismus Z/mnZZ/mZ×Z/nZ,
der gegeben ist durch a mod mn(a mod m, a mod n).
Dieser Satz ist leicht auf mehr als zwei paarweise teilerfremde
Faktoren erweiterbar.

Man kann sich leicht klarmachen, dass die Einheitengruppen einer entsprechenden
Zerlegung unterliegen:
(Z/mnZ)*(Z/mZ)*×(Z/nZ)*.

Wir haben in unserem Falle also den Gruppenisomorphismus
(Z/40Z)*(Z/8Z)*×(Z/5Z)*(*).

Nun untersuchen wir dessen rechte Seite:
Es ist (Z/8Z)*={1,3,5,7}={1,3,-3,-1}.
Es bezeichne <a>m die zyklische Untergruppe von (Z/mZ)*,
die von a mod m erzeugt wird.
Dann ist (Z/8Z)*=<3>8×<-1>8, also vom Typ Z2×Z2.
(Z/5Z)* ist die multiplikative Gruppe des Körpers Z/5Z
und als solche bekanntermaßen zyklisch, was man hier aber auch konkret
nachrechnen kann. Sie wird z.B. von 2 mod 5 erzeugt:
(Z/5Z)*=<2>5.
Die rechte Seite von (*) können wir damit als
(<3>8×<-1>8)×<2>5 auffassen.
Damit haben wir für die rechte Seite von (*) die
3 Erzeugenden
{(3 mod 8,1 mod 5),(-1 mod 8,1 mod 5),(1 mod 8,2 mod 5)}.

Nun müssen wir die entsprechenden Elemente dazu auf der linken Seite von (*)
finden.
Erstes erzeugendes Element: suche ein a mod 40 mit der Eigenschaft:
a3 mod 8 und a1 mod 5:
Die passenden Reste gemäß der ersten Kongruenz sind
{3,11,19,}. Offenbar erfüllt a=11 unseren Zweck.

Nun verfahre analog mit den anderen beiden Erzeugenden ...

Gruß ermanus

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:35 Uhr, 18.09.2018

Antworten
Da die Studentin mittlerweile wohl anderweitig beschäftigt ist,
hier noch das Endergebnis:

Eine Darstellung von (Z/40Z)* als direktes Produkt zyklischer
Untergruppen ist

(Z/40Z)*=<11>×<31>×<17>.

Sie ist vom Typ Z2×Z2×Z4.