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Minimalpolynom

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Eigenwerte

Tags: Minimalpolynom

Briggehossler aktiv_icon

19:01 Uhr, 01.05.2017

Hallo zusammen,

ich sitze gerade an einer Aufgabe zur Berechnung des Minimalpolynoms.
Habe mir überlegt bei Aufgabenteil

a)

ist eine Blockmatrix gegeben, also würde ich die Minimalpolynome der beiden Matrizen A und

B

berechnen. Für Matrix

A \in

M(n×n,K) das charakteristische Polynom:

det (t \cdot E_{n} - A) = det | \begin{matrix} t - a_{11} & - a_{1 n} \\ - a_{n 1} & t - a_{n \cdot n} \end{matrix} |

= (t - a_{11}) \cdot | \begin{matrix} - a_{12} & - a_{1 n} \\ - a_{n 2} & (t - a_{n \cdot n}) \end{matrix} |

- (- a_{21}) \cdot | \begin{matrix} - a_{22} & - a_{2 n} \\ - a_{n 1} & t - a_{n \cdot n} \end{matrix} |

. .

+_{- (- a_{n 1})} \cdot | \begin{matrix} t - a_{11} & - a_{1 n} \\ - a_{m 1} & t - a_{m 1} \end{matrix} |

Dazwischen sind jeweils noch Punkte. Nun hänge ich aber .. Wie mache ich weiter? Bzw ist es so überhaupt richtig?

LG Briggehossler

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21:40 Uhr, 01.05.2017

"Bzw ist es so überhaupt richtig?"

Vielleicht, aber auf jeden Fall nicht hilfreich.
Du braucht hier das charakteristische Polynom nicht.
Überlege, warum das Produkt der Minimalpolynome von A und B das Minimalpolynom der "großen" Matrix sein muss.

Briggehossler aktiv_icon

22:11 Uhr, 01.05.2017

Das habe ich mir schon durch den Kopf gehen lassen, bin aber auf keinen Idee kommen bzw dachte dann über das charakteristische Polynom..
Ein Tipp wäre vielleicht hilfreich?:-)

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11:00 Uhr, 02.05.2017

Du musst nur nutzen, dass

{(\begin{array}{rcl} A & 0 \\ 0 & B \end{array})}^{n} = (\begin{array}{rcl} A^{n} & 0 \\ 0 & B^{n} \end{array})

für jedes

n

,
daher

P ((\begin{array}{rcl} A & 0 \\ 0 & B \end{array})) = (\begin{array}{rcl} P (A) & 0 \\ 0 & P (B) \end{array})

für jedes Polynom

P

Briggehossler aktiv_icon

18:54 Uhr, 02.05.2017

Das habe ich mir ja oben auch überlegt. Um die Minimalpolynome zu berechnen brauche ich doch aber zuerst das charakteristische Polynom? Deshalb oben meine Idee..

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19:14 Uhr, 02.05.2017

"Um die Minimalpolynome zu berechnen brauche ich doch aber zuerst das charakteristische Polynom?"

Nein, brauchst Du nicht.
Und berechnen kannst Du hier eigentlich nichts, da Du nicht weißt, was

A

und

B

sind.
Du kannst nur beweisen, dass Minimalpolynom der angegebenen Matrix = Produkt der Minimalpolynome von A und B ist.

Briggehossler aktiv_icon

20:56 Uhr, 02.05.2017

Also

z_{z} : Ξ^{min}_M = Ξ^{min}_A \cdot Ξ^{min}_B

wobei

M := (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})

Also muss ich zwei Inklusionen zeigen. Richtig?

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21:38 Uhr, 02.05.2017

Inklusionen? :-O
Es geht hier doch nicht um Mengen.

Briggehossler aktiv_icon

22:14 Uhr, 02.05.2017

Also wir haben das Minimalpolynom so definiert:

I=

Ξ^{min}_(φ) K [t] := {Ξ^{min}_(φ) q | q \in K [t]}

ist das eindeutig bestimmte nomierte Polynom

f

kleinsten Grades mit

f (φ) = 0

und das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom. Hilft mir das was für den Beweis?
Ich weiß ehrlich gesagt gerade nicht wie ich anfangen soll ..

DrBoogie aktiv_icon

23:14 Uhr, 02.05.2017

Eigentlich habe ich schon alles nötige geschrieben.

Wenn

P_{1}

- Minimalpolynom von

A

P_{2}

- Minimalpolynom von

B

und

P_{3}

- Minimalpolynom von

(\begin{array}{rcl} A & 0 \\ 0 & B \end{array})

ist,

dann gilt

P_{1} P_{2} (\begin{array}{rcl} A & 0 \\ 0 & B \end{array}) = (\begin{array}{rcl} P_{1} (A) P_{2} (A) & 0 \\ 0 & P_{1} (B) P_{2} (B) \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \cdot P_{2} (A) & 0 \\ 0 & P_{1} (B) \cdot 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

,
damit muss

P_{3}

ein Teiler von

P_{1} P_{2}

sein.

Andererseits gilt

(\begin{array}{rcl} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) = P_{3} (\begin{array}{rcl} A & 0 \\ 0 & B \end{array}) = (\begin{array}{rcl} P_{3} (A) & 0 \\ 0 & P_{3} (B) \end{array})

,
also

P_{3} (A) = P_{3} (B) = 0

und damit sind

P_{1}

und

P_{2}

Teiler von

P_{3}

.

Insgesamt bedeutet das, dass

P_{3} = k g V (P_{1}, P_{2})

, fertig.

Briggehossler aktiv_icon

08:37 Uhr, 03.05.2017

Wie kommst du darauf das

P_{1} (A)

und

P_{2} (B) = 0

sind?

Und was bedeutet kgV

(P_{1}, P_{2})

? Die Schreibweise kenne ich nicht..

DrBoogie aktiv_icon

08:42 Uhr, 03.05.2017

"Wie kommst du darauf das P1(A) und P2(B)=0 sind?"

Per Definition von Minimalpolynomen.
Echt, schalte endlich Deinen Kopf ein!

"Und was bedeutet kgV (P1,P2)? Die Schreibweise kenne ich nicht.."

Schule verpasst? Dann müsstest Du zumindest Google kennen.
de.wikipedia.org/wiki/Kleinstes_gemeinsames_Vielfaches

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