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Minimalpolynom berechnen
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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-1 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 -4 -1 0 0 3 -9 -4 2 -1 1 5 4 1 4. --> von dieser Matrix soll ich das Minimalpolynom berechnen. Ich weiß, dass ich dazu das charakteristische Polynom bestimmen muss. Das habe ich schon gemacht: x^5-7x^4+10x^3+18x^5-27x-27 Als nächstes muss ich ja die Nullstellen berechnen, damit ich das Polynom als Linearfaktorzerlegung schreiben kann. Aber wie mache ich das bei einem grad hoch 5 Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, Nullstelle "raten", Polynomdivision. Frage. Schreibfehler? 2 mal Exponent 5 kein Exponent 2! gruß korbinian |
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Hallo, Wenn ein Eigenwert der Matrix (ich nenne sie ) ist und ein zugehöriger Eigenvektor, so gilt ja . Man überzeugt sich leicht davon, dass dann aufgrund der besonderen Gestalt der Matrix (jeweils 2 Nullen am Ende der Zeilen 1 bis 3): gelten muss. Man suche daher die Eigenwerte von . Aufgrund der besonderen Gestalt der Matrix sind diese Eigenwerte dann auch Eigenwerte von . Dann kann man nach korbinian das charakteristische Polynom durch teilen, und es bleibt ein quadratisches Polynom übrig, dessen Nullstellen ja kein Problem darstellen. Gruß ermanus |
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Man kann natürich auch das charakteristische Polynom von geschickter berechnen, so dass es am Ende bereits faktorisiert vorliegt: . Entwickeln nach der 2-te Zeile: . Entwickeln nach der 1-ten Zeile: ... usw. |
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Kannst du mir vielleict erklären, wie man das charakteristische Polynom berechnet, sodass es gleich faktorisiert ist? Haben das nämlich nicht gemacht und es sieht vielversprechend aus |
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Hallo, bei vielen Matrizen wird dies gar nicht möglich sein. Aber in deinem Falle hast du eine sehr "freundliche" Matrix, die z.B. in der zweiten Zeile nur ein Nichtnullelement besitzt. Hier bietet es sich also an, nach dieser Zeile zu entwickeln. Die verbleibende Matrix ist "fast" eine untere Dreiecksmatrix, die müsste man Stück für Stück immer nach der ersten Zeile (also linken oberen Ecke) entwickeln können, wobei dann freundlicherweise die gewünschten Linearfaktoren entstehen. Wie gesagt: ein Glücksfall. Eine allgemeine Methode gibt es nicht, wohl aber die Nützlichkeit der Erfahrung: Rechne die nächsten 5000 Determinanten aus, dann siehst du irgendwann schnell den jeweilig optimalen Weg ;-) Gruß ermanus |
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