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Minimalpolynom bestimmen und Ähnlichkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Minimalpolynom

BulettenJoergi aktiv_icon

15:26 Uhr, 06.05.2017

Seien

A, B \in K^{n x n}

. Bestimme die Minimalpolynome der folgenden beiden Matrizen, wobei

λ \in K

beliebig ist.

A = (\begin{matrix} λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix})

. Des Weiteren zeigen Sie, dass A und

B

nicht ähnlich sind.

Als Definition fürs Minimalpolynom haben wir:
Das Minimalpolynom einer Matrix

A

in K^(nxn) ist das eindeutig bestimmte normierst, nichtkonstante Polynom

p_{A} \in K [T]

minmalen Grades mit

p_{A} (A) = 0

.
Als Hinweis haben wir noch gegeben: Der Satz von Cayley-Hamilton darf benutzt werden.

Ich habe bisher noch nicht verstanden wie man ein Minimalpolynom bestimmt. Und könnte da einen Leitfaden oder ähnliches gebrauchen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

16:52 Uhr, 06.05.2017

Wenn du ein Polynom

P \in K [T]

mit

P (A) = 0

hast, so ist das Minimalpolynom

p_{A}

ein Teiler von

P

.

Nach Satz von Cayley-Hamilton gilt

χ_{A} (A) = 0

für das charakteristische Polynom

χ_{A}

von

A

. Daher ist das Minimalpolynom

p_{A}

ein Teiler des charakteristischen Polynoms

χ_{A}

.

Idee: Berechne das charakteristische Polynom. Untersuche die (normierten) Teiler des charakteristischen Polynoms. Gehe die Teiler der Reihe nach durch, und überprüfe, ob man die Nullmatrix erhält, wenn man die Matrix

A

einsetzt. Der Teiler mit dem kleinsten Grad, für den dies erfüllt ist, ist dann dein Minimalpolynom.

Außerdem manchmal hilfreich: Jeder über

K

irreduzible Teiler des charakterischen Polynoms von

A

ist auch ein Teiler des Minimalpolynoms von

A

über

K

[

Es kann sein, dass ihr das noch nicht gelernt habt.]

Außerdem manchmal hilfreich: Wenn

A

über

K

eine Jordan-Form besitzt, so ist der Exponent des Linearfaktors

(T - λ)

im Minimalpolynom

p_{A} (T)

gleich der Größe des größten Jordan-Blocks zum Eigenwert

λ

[

Es kann sein, dass ihr das noch nicht gelernt habt.]

\\\\

Ich rechne dir das für die Matrix

A

vor:

Die Matrix

A = (\begin{matrix} λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix})

ist in Jordan-Form. Die Größe des größten Jordan-Block zum Eigenwert

λ

ist 2. Daher kann man das Minimalpolynom sofort angeben:

p_{A} (T) = {(T - λ)}^{2}

Falls dir der genannte Zusammenhang zwischen Jordan-Form und Minimalpolynom unbekannt sein sollte, so geht es auch ohne.

Das charakteristische Polynom von

A

ist

χ_{A} (T) = - 1 \cdot {(T - λ)}^{3}

. Nach Satz von Cayley-Hamilton ist

χ_{A} (A) = 0,

weshalb das Minimalpolynom

p_{A}

ein Teiler von

χ_{A}

ist. Die normierten Teiler von

χ_{A}

sind

1, T - λ, {(T - λ)}^{2}, {(T - λ)}^{3}

. Nun wird ausprobiert, welches der kleinste Teiler ist, der bei Einsetzen der Matrix

A

die Nullmatrix liefert.

1 \neq 0

A - λ \cdot 1 = (\begin{matrix} λ & 1 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix}) - (\begin{matrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

{(A - λ \cdot 1)}^{2} = {(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Dementsprechend ist das Minimalpolynom von

A

gegeben durch

p_{A} (T) = {(T - λ)}^{2}

BulettenJoergi aktiv_icon

21:26 Uhr, 06.05.2017

Ich habe für

p_{B} (T) = {(T - λ)}^{3}

raus. Wie zeige ich jetzt am einfachsten, dass die beiden Matrizen nicht Ähnlich sind. Über

A = S \cdot B \cdot S^{- 1},

wo ich ja erst die Eigenwerte, dann die Eigenvektoren und dann auch noch

S^{- 1}

bestimmen muss, oder gibt es da einen einfacheren Weg. Ich habe bei Wikipedia gefunden, dass ähnliche Matrizen, dass selbe Minimalpolynom besitzen. Reicht es dann zu sagen, dass die Minimalpolynome von A und

B

unterschiedlich sind und somit daraus folgt, dass A und

B

sich nicht ähnlich sind. Oder gilt nur: A und

B

sind sich nicht ähnlich

\Rightarrow A

und

B

haben unterschiedliche Minimalpolynome.

mihisu aktiv_icon

22:42 Uhr, 06.05.2017

Es gilt die folgende Richtung:

A und

B

ähnlich

\Rightarrow A

und

B

haben gleiche Minimalpolynome

Daher gilt auch:

[

de.wikipedia.org/wiki/Kontraposition]

A und

B

haben gleiche Minimalpolynome

\Rightarrow A

und

B

ähnlich

Da also im konkreten Fall

p_{A} \neq p_{B}

ist, sind

A

und

B

nicht ähnlich.

\\\\

Natürlich kann man dass aber auch nochmal ausführlicher zeigen, wenn man möchte:

Angenommen

A

und

B

wären äquivalent. Dann gäbe es eine invertierbare Matrix

S

mit

A = S \cdot B \cdot S^{- 1}

.

Da

{(T - λ)}^{2} \in K [T]

das Minimalpolynom von

A

über

K

ist, ist

{(A - λ \cdot 1)}^{2} = 0

. Demnach wäre:

0 = {(A - λ \cdot 1)}^{2}

= {(S \cdot B \cdot S^{- 1} - λ \cdot 1)}^{2}

= {(S \cdot B \cdot S^{- 1} - λ \cdot S \cdot 1 \cdot S^{- 1})}^{2}

= {(S \cdot (B - λ \cdot 1) \cdot S^{- 1})}^{2}

= S \cdot (B - λ \cdot 1) \cdot S^{- 1} \cdot S \cdot (B - λ \cdot 1) \cdot S^{- 1}

= S \cdot (B - λ \cdot 1) \cdot (B - λ \cdot 1) \cdot S^{- 1}

= S \cdot {(B - λ \cdot 1)}^{2} \cdot S^{- 1}

Mulitplikation mit

S^{- 1}

von links und mit

S

von rechts würde

{(B - λ \cdot 1)}^{2} = 0

liefern.
Dies wäre im Widerspruch zur Minimalität des Minimalpolynoms

{(T - λ)}^{3} \in K [T]

von

B

über K.
Demnach ist die Annahme

A

und

B

wären ähnlich falsch.

A

und

B

sind also nicht ähnlich.

\\\\

Umgekehrt können jedoch nicht ähnliche Matrizen das gleiche Minimalpolynom haben.
Beispielsweise haben

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

das gleiche Minimalpolynom

T^{2} \in K [T],

sind jedoch nicht ähnlich.

BulettenJoergi aktiv_icon

00:09 Uhr, 07.05.2017

Supii. Hab es verstanden. Vielen Dank für deine Hilfe.

mihisu aktiv_icon

00:18 Uhr, 07.05.2017

Sorry. Ich habe mich in meinem vorigen Beitrag verschrieben.
Es sollte
"

A

und

B

haben nicht das gleiche Minimalpolynome

\Rightarrow A

und

B

sind nicht ähnlich
statt
"

A

und

B

haben gleiche Minimalpolynome

\Rightarrow A

und

B

ähnlich"
lauten.

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