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Minimalpolynom finden
Universität / Fachhochschule
Polynome
Tags: Minimalpolynom, polynom
 
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Ich soll das Minimalpolynom folgender Matrix finden: aij=1 für und restliche=0. Sieht etwa so aus: . . . (Wir haben weder Determinanten noch charakteristisches Polynom behandelt. Deshalb bitte nicht auf die Weise erklärt) Meine Idee: In Dreiecksform bringen und anschliessend Eigenwerte auf Diagonale ablesen.. Ist das erlaubt?(Dies ist meine einzige Frage) Vielen Dank bereits im voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"Ist das erlaubt?" Erlaubt schon, nur gibt das Dir nicht das Minimalpolynom. |
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Wenn ich die Matrix doch in eine Dreiecksform bringe, kann ich die Eigenwerte doch ablesen, welches mir das Minimalpolynom ergibt... oder nicht? Oder wie würdest du das Minimalpolynom mit den mir zur Verfügung stehenden Mitteln herausfinden? Gruss Marcell025 |
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Eigenwerte ergeben kein Minimalpolynom. Es ist leicht ein Beispiel von zwei Matrizen mit gleichen Eigenwerten und unterschiedlichen Minimalpolynomen zu konstruieren. Wenn ist, gilt , also ist das Minimalpolynom. Wenn , so ist , also muss das Minimalpolynom teilen. Ein Bisschen Analyse liefert als Ergebnis. |
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Wie kann ich denn nun ein Minimalpolynom zur Matrix finden? |
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Nach der Regel der Kunst geht es über das charakteristische Polynom usw. Aber Du das nicht nutzen kannst, geht es wohl nur zu Fuss. Wie - habe ich schon erklärt. Wenn Du etwas nicht verstehst, frag konkret. |
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Ah ja danke. Ich verstehe folgenden Teil nicht: "as Minimalpolynom − teilen." Wie kommst du da drauf? |
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Du weißt, dass , also mit . Wenn ein Minimalpolynom ist, dann muss sein, nach Definition. Wenn wir jetzt durch mit dem Rest teilen, also , dann wird sein und außerdem . Aber war minimal, deshalb darf so ein nicht existieren, es sei denn, . Und wenn , dann teilt das Polynom ohne Rest. |
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Ich gehe mal davon aus, dass in der Matrix die Einsen von rechts oben nach links unten durchlaufen, also auf der Nebendiagonalen liegen und die Zeilen in der Mitte keine Nullzeilen sind. Was passiert, wenn man die Matrix mit sich selbst malnimmt ... |
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"Ich gehe mal davon aus, dass in der Matrix die Einsen von rechts oben nach links unten durchlaufen, also auf der Nebendiagonalen liegen" Das stimmt nicht, zumindest wenn man dem Autor glaubt. |
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@ermanus: Nein, die Einsen sind nur in der rechten oberen ecke und in der linken unteren. Bsp Ich versuche nun die Zusammenhänge zu verstehen Das Minimalpolynom hat ja immer die Form . Irgendwie?? kann man nun die schauen, bei welcher Potenz bzw. bei welchem Grad des Minimalpolynoms die Matrix ähnlich zur Einheitsmatrix ist.. Übrigens: Wieso macht man das? Man sieht zudem, dass . Somit muss wohl(verstehe es noch nicht ganz wieso, dass so ist) das Minimalpolynom teilen. Somit sieht man, dass dies für geht. Mein Dozent meinte heute morgen noch dazu(als ich ihn gefragt habe), dass man sieht, dass gilt. Was bedeutet das nun? |
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Ich unterwerfe mich der Aussage des Autors bis auf Widerruf ;-) |
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Dein Minimalpolynom muss jedes Polynom teilen, dessen "Nullstelle" Deine Matrix ist. Da Du leicht erkennen kannst, ist Deine Matrix "Nullstelle" des Polynoms (und nicht ). |
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Danke für eure Hilfe! Hat mir sehr geholfen! |
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