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Minimalpolynom in Verbindung mit dem Rang

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, chrakterisches Polynom, Matrix, Minmalpolynom, Rang

 
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Fabi093

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21:35 Uhr, 03.05.2014

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Hallo,
ich habe mir mal ein paar Gedanken zu Matrizen gemacht und bin auf folgendes Problem gestoßen. Angenommen ich habe eine Matrix A∈Mat(5×5,ℂ) mit den Eigenwerten 1,2 und 3. Wenn ich jetzt in Abhänigkeit von dieser Matrix eine neue berechnen die folgende Gestalt hat: (A-E5)⋅(A-2E5) kann ich dann sagen die neue Matrix ist um die einfache Multiplizität verringert worden, da ich die Eigenwerte ja quasi einmal rausziehe?


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DrBoogie

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21:52 Uhr, 03.05.2014

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Ich verstehe die Aussage "Matrix um Multiplizität verringert" nicht, es ist sogar neu für mich, dass man Matrix verringern kann. :-)
Was aber auf jeden Fall stimmt - dass det((A-E)(A-2E)) in diesem Fall 0 ist und dementsprechend der Rang von ((A-E)(A-2E) nicht maximal sein kann. Außerdem hat die Matrix (A-E)(A-2E) den Eigenwert 0. Aber sie kann auch andere Eigenwerte haben.
Fabi093

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21:59 Uhr, 03.05.2014

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Meine Frage rührt daher da ich zeigen will, dass eine Matrix nie die drei Eigschaften haben kann:
(i)Die Matrix (A-E5)(A-2E5) hat den Rang 3
(ii) A besistzt χA=(t-1)3(t-2)(t-3)
(iii) A besitzt μA=(t-1)2(t-2)(t-3)

Mir ist klar, dass (ii), (iii) angeben wie der Rang zum einzelnen Eigenwert verteilt ist, hier wäre es λ1=1 Rang(λ1)=2 und die anderen hätten den Rang 1, da dass Minimalpolynom dies so vorgibt. Nur inwiefern führt dies zu schwierigkeiten mit Aussage (i), liegt es daran, dass ich dort den Rang von den Eigenwerten vermindere und so insgesamt nur auf Rang 2 kommen kann oder ist das komplett falsch?
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:17 Uhr, 03.05.2014

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Was ist denn der Rang von einem Eigenwert? :-O
Noch nie gehört. Und wie man den Rang verteilen kann, ist mir ein Rätsel.

Zu der eigentlichen Aufgabe: am einfachsten ist es, wenn Du mit der Jordan-Normalform arbeiten würdest. Sie hat eine direkte Beziehung zu dem Minimalpolynom. Dann kannst Du den Rang der Matrix (A-E)(A-2E) aus ii) und iii) einfach direkt berechnen.
Fabi093

Fabi093 aktiv_icon

22:27 Uhr, 03.05.2014

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Das habe ich alles schon getan der Rang wäre 2 und nicht wie gefordert 3. Naja der Rang zum Eigenwert ist einfach die Multiplizität zum Eigenwert im Minimalpolynom.
Sei α:=ri die Multiplizität zu λi dann gilt:
α=max{e∈ℕ∣(t-λ)e teilt μA}=min{e∈ℕ∣Rang(A-λEn)e=Rang(A-λEn)e+1}
Nur weiß ich nicht warum das allgemein gilt. Das es eine Verbindung vom Rang und Minimalpolynom gibt.
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:56 Uhr, 04.05.2014

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α=max{e∈ℕ∣(t−λ)e teilt μA}=min{e∈ℕ∣Rang(A−λEn)e=Rang(A−λEn)e+1}
Diese Aussage wird im Beweis über die Jordan-Normalform "mitbewiesen", aber man kann es auch separat beweisen, das geht so.

Zuerst gilt immer min{e∈ℕ∣Rang(A−λEn)e=Rang(A−λEn)e+1}=
=min{e∈ℕ∣Kern(A−λEn)e=Kern(Rang(A−λEn)e+1}, weil für alle e∈ℕ Folgendes gilt:

Rang(A−λEn)e=Bild(A−λEn)e,
dim(Bild(A−λEn)e)=n-dim(Kern(A−λEn)e),
Bild(A−λEn)e+1⊂Bild(A−λEn)e und
Kern(A−λEn)e⊂Kern(A−λEn)e+1.

Sei jetzt α wie in der Aussage oben definiert. Dann hat man für das Minimalpolynom μA(t) die Darstellung μA(t)=(t-λ)α⋅q(t), mit einem Polynom q(t), das nicht von t-λ geteilt wird. Also, haben t-λ und q(t) keinen gemeinsamen Teiler, deshalb existieren Polynomen r(t) und s(t), so dass (t-λ)r(t)+q(t)s(t)=1.

So, nach dieser Vorarbeit kann man die Aussage beweisen.

1. Schritt. Beweis von Kern(A−λEn)α=Kern(A−λEn)α+1, woraus folgen würde, dass α≥min{e∈ℕ∣Rang(A−λEn)e=Rang(A−λEn)e+1}.

Sei v aus Kern(A−λEn)α+1, dann gilt (A−λEn)α+1v=0. Andererseits gilt μA(A)=0, insbesondere μA(A)v=0. Da aber μA(t)=(t-λ)αq(t), haben (A-λ)αq(A)v=0. Wenn wir (A−λEn)α+1v=0 mit r(A) multiplizieren, (A-λ)αq(A)v=0 mit s(A) multiplizieren und Ergebnisse addieren, kommt 0=(A-λ)α+1r(A)v+(A-λ)αq(A)s(A)v=(A-λ)α((A-λ)r(A)+q(A)s(A))v=
=(A-λ)αv, wegen (t-λ)r(t)+q(t)s(t)=1. Also, v liegt in Kern(A−λEn)α .
Damit ist gezeigt: Kern(A−λEn)α+1⊂Kern(A−λEn)α.
Da die umgekehrte Inklusion immer gilt, ist der Beweis fertig.

2. Schritt. Beweis von Kern(A−λEn)e≠Kern(A−λEn)e+1 für e<α, woraus folgen würde, dass α≤min{e∈ℕ∣Rang(A−λEn)e=Rang(A−λEn)e+1}.
Beweisen wir es indirekt. Nehmen an, dass Kern(A−λEn)e=Kern(A−λEn)e+1 für ein e<α.
Betrachten das Polynom μn(t)=(t-λ)α-1q(t).
Sei jetzt v beliebig. Wegen μA(A)=0 haben auch μA(A)v=0, also
(A-λ)αq(A)v=0 =>(A-λ)e+1(A-λ)α-e-1q(A)v=0
=>(A-λ)α-e-1q(A)v liegt in Kern(A−λEn)e+1. Deshalb liegt es auch in Kern(A−λEn)e, woraus (A-λ)e(A-λ)α-e-1q(A)v=0 folgt, also μn(A)v=((A-λ)α-1q(A)v=0. Das gilt für alle v, deshalb ist μn(A)=0. Das ist aber ein Widerspruch zur Minimalität von μA, denn μn hat einen kleineren Grad. Also, kann die Annahme Kern(A−λEn)e=Kern(A−λEn)e+1 für ein e<α nicht richtig sein.

Kein trivialer Beweis, aber ich befürchte, dass es einfacher nicht geht.



Frage beantwortet
Fabi093

Fabi093 aktiv_icon

11:38 Uhr, 04.05.2014

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Vielen Dank für deine Hilfe sehr verständlich ausgeschrieben danke :-)