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Minimalpolynome bestimmen

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Polynome

Tags: Minimalpolynom

 
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Finley

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11:00 Uhr, 01.09.2014

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Hi. Bräuchte ein paar Tipps zum bestimmen der Minimalpolynome der folgenden Matrizen

1.
(2200082000004800084000007)

Mein Lösungsvorschlag:
Die Matrix ist in Blockdiagonalgestalt.Also Minimalpolynom der beiden 2x2 Blöcke ausrechen mal (t-7).
Das Minimalpolynom lautet (t-6)(t+2)(t-7)(t-12)(t+4).

2.
(700000071000007100000700000071000007)

Mein Lösungsvorschlag:
Durch Jordan Normalform abzulesen. Der größtmögliche Block sind drei 7en (a22,a33,a44).
Daher lautet das MP (t-7)^3

3.
(420042004)

Wären die 2en 1en gälte das gleiche wie ei 2. und das MP würde (t-4)^3 lauten. Wie gehe ich aber hier vor. Gibt es das einen Trick oder muss die EW zunächst ausrechenen.

Danke!


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michaL

michaL aktiv_icon

11:26 Uhr, 01.09.2014

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Hallo,

geht es wirklich um die Minimalpolynome oder ist eigentlich das charakteristische Polynom gemeint?

Sollte es um das charakteristische Polynom gehen, ist das erste korrekt.
Da die irreduziblen Faktoren des char. Polynoms alle Grad 1 haben, ist das char. Polynom gleichzeitig auch das Minimalpolynom.

Beim zweiten würde ich dir zustimmen, was das Minimalpolynmom angeht (anscheinend geht es doch darum).

Beim dritten ist das char. Polynom offenbar (λ-4)3. (Diagonalmatrix)
Das das Minimalpolynom ein Teiler des charakteristischen ist, musst du ja nur testen, ob schon (A-4E)=0 oder (A-4E)2=0 gilt, wobei A die in Rede stehende Matrix und E die (entsprechende) Einheitsmatrix sei.

Natürlich könntest du auch die Jordansche Normalform bestimmen. Von der aus scheinst du arbeiten zu können.

Ich würde dringend annehmen, dass das Minimalpolynom keinen kleineren Grad hat als das char. Polynom, habe aber meinen eigenen Tipp nicht daran probiert.

Mfg Michael
Finley

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13:10 Uhr, 01.09.2014

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Danke für die Antwort!
Mir ist leider nicht ganz klar, wie ich (A−4E)=0 berechnen soll. Es wäre echt toll, wenn du das mal ausführlich vorrechenen könntest, damit ich das nachvollziehen kann und ich das dann an anderen Aufgaben üben könnte.
Und direkt noch eine Frage: Ich nehme mal an, dass (A−4E)=0 leichter zu berechnen ist als (A−4E)2=0. Falls dann schon (A−4E)=0 ist, muss man dann auch noch (A−4E)2=0 (oder gar (A−4E)3=0) berechnen oder reicht dann schon, dass (A−4E)=0 ist.
Frage beantwortet
Finley

Finley aktiv_icon

17:51 Uhr, 01.09.2014

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Ok, hab ich selbst rausgefunden; war auch trivial ;-)