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Minimum, Maximum
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 20:38 Uhr, 23.11.2003  |
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Hab folgende Aufgabe: Beweise: Jede nichtleere Teilmenge von R besitzt ein Minimum und ein Maximum! Ich schätze mal das wird auf Induktion hinauslaufen, weiss aber nur net wie! Danke schon mal im Voraus! |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Extrema (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Was ist mit der Menge U := {x | 0 < x < 1}, wo ist da das Maximum bzw. das Minimum? Gruß Florian Huber |
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Ich biete mal Alternativen: 1.) Naja, entweder ist dann mit R gar nicht der Bereich der reellen Zahlen gemeint, sondern etwas, was Jenny uns verschweigt ;-)) (vielleicht: R:={3;7;4,5;8;12}) 2.) Die Aufgabe heißt nicht: Beweise..., sondern: Beweise oder widerlege... Und Jenny dachte, dass die Aussage korrekt sei. 3.) Die Aufgabe lautet: Jede nichtleere, kompakte Teilmenge von R besitzt ein Minimum und ein Maximum! 4.) Die Aufgabe lautet: Jede nichtleere Teilmenge von IN besitzt ein Minimum (und in bestimmten Fällen zusätzlich ein Maximum!). ;-) |
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Ich hab ein Wörtchen nicht erwähnt: Die Aufgabe heißt genau: Beweise: Jede nichtleere endliche!! Teilmenge von R (gemeint reele Zahlen) besitzt ein Minimum und ein Maximum! Ich glaub allerdings nicht das "endlich" etwas an der Tatsache ändert oder? |
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Hallo, doch, das Wörtchen endlich ändert diese Tatsache sehr stark. Denn wie schon bei Florian erwähnt ist die Menge: K:={x aus IR: 0<x<1} eine Teilmenge von IR. Diese Teilmenge enthält unendlich viele Punkte (betrachte z.B. für n>1, n aus IN die Punkte 1/n). Das heißt, K ist eine "unendliche" Teilmenge von IR. K besitzt zwar das Supremum 1 und das Infimum 0, aber weder ein Maximum noch ein Minimum (sonst wäre Max=Sup=1, aber 1 ist nicht in K, da ja nicht(!!!) gilt: 1<1). Du mußt stark unterscheiden, ob man von Maximum oder Supremum spricht. Jedes Maximum ist Supremum, aber nicht jedes Supremum ist auch Maximum!!! Ausserdem kannst du auf "überabzählbare" Mengen i.A. nicht das Induktionsprinzip anwenden. Ich gebe dir mal Beispiele: M1={0} => maxM1=supM1=infM1=minM1=0 M2={x aus IR: 0<=x<1} =>maxM2 existiert nicht, supM2=1, InfM2=MinM2=0 M3={x aus IR: 0,5<1<=2} => maxM3=supM3=2 und InfM3=0,5 aber MinM3 existiert nicht. Außerdem ist ja auch IR Teilmenge von IR (es sei denn, ihr fast Teilmenge als echte Teilmenge auf). Aber: Es gibt weder Max,Min, Sup noch Inf von IR. Auch nicht jede echte Teilmenge von IR muss Sup und Inf haben: T:={x aus IR: x>0} Dann gilt: InfT=0 und MinT, SupT und MaxT existieren nicht. Allerdings sollte deine Aufgabe so mit Induktion zu lösen sein: Sei Kn eine Teilmenge von IR mit n Elementen. Dann existieren Max und Min von Kn für alle n aus IN (beachte: das n muss aber fest gewählt und damit <unendlich sein). Beweis: n=1: K1={x1} ist einelementige Menge mit MinK1=MaxK1=x1. n->n+1: Kn+1={x1,x2,...,xn+1}, wobei x1,...,xn+1 paarweise verschieden. => Definiere: Kn:={x1,...,xn}. A:={xn+1}. Dann gilt: Kn+1=Kn disjunktvereinigt mit A. Nach Induktionsvoraussetzung gilt: Es gibt maxKn und minKn. Sei also r aus{1,...,n} so, dass xr=minKn und s aus {1,...,n}\{r} so, dass xs=maxKn. => Falls xn+1>xs => max(Kn+1)=xn+1 (*), sonst gilt: maxKn+1=xs. Falls xn+1<xr => min Kn+1=xn+1 (**), sonst gilt: minKn+1=xr => Es existiert max und min von Kn+1 => fertig. [(*) und (**) ergeben sich mithilfe der Definition von Maximum und Minimum!] Viele Grüße Marcel |
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Da scheint was schiefgelaufen zu sein beim IExplorer, also nochmal die ersten Sätze: Hallo, doch, das Wörtchen endlich ändert diese Tatsache sehr stark. Denn wie schon bei Florian erwähnt ist die Menge: K:={x aus IR: 0 < x < 1} Teilmenge von IR, aber eine unendliche Menge (betrachte z.B. für alle n aus IN die Punkte 1/n). Das heißt, K ist eine "unendliche" Teilmenge von IR. |
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Danke Jungs!! Habbet kapiert!! |
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