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Minimum Norm Lösung

Universität / Fachhochschule

Tags: BildA, Projektion

anonymous

13:45 Uhr, 23.12.2021

Hallo,
Wie kommt man auf die Folgerung, dass da der Nullraum nicht zur Lösung von Ax=b beiträgt

[

b

im Bild von

A]

man die Lösung auf den Kern(A) senkret projiziert?

Welche Elemente sind eigentlich genau in der Menge Kern A senkrecht?

Danke schon einmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

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14:09 Uhr, 23.12.2021

"Wie kommt man auf die Folgerung, dass da der Nullraum nicht zur Lösung von Ax=b beiträgt "

Das ist schon sehr schlampig formuliert.
Gemeint ist, dass wenn

y

im Nullraum von

A

ist und

x

eine Lösung von

A x = b

, dann ist auch

x + y

eine Lösung davon. Was auch recht offensichtlich ist. Also kann man zu einer Lösung immer Elemente aus dem Nullraum addieren und es bleibt eine Lösung.

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14:10 Uhr, 23.12.2021

"Welche Elemente sind eigentlich genau in der Menge Kern A senkrecht?"

Na, für die gilt

(x, y) = 0

für

y

mit

A y = 0

.
Anschaulicher kann man es nicht wirklich machen.

anonymous

08:14 Uhr, 27.12.2021

Hallo, danke für die Anwort.

Das leuchtet mir jetzt alles ein soweit. Was mir noch unklar ist, ist die Folgerung "da der Nullraum von A nichts zur Lösung von Ax=b beiträgt", projizieren wir die Lösungen auf den Kern(A) senkrecht...

Wie kommt man nun darauf??

Danke

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08:42 Uhr, 27.12.2021

Jedes

x

kann eindeutig als

x = x_{1} + x_{2}

geschrieben werden, mit

x_{1} \in K e r (A)

und

x_{2} \in K e r (A)^{⊥}

x_{2}

ist die Projektion von

x

auf

K e r (A)^{⊥}

anonymous

09:45 Uhr, 27.12.2021

Ok, ich kannte bisher nur das Lemma, dass

R^{m} =

Bild(A)

+

Kern(A^t).

Also

x

sei nun die Lösung von Ax=b. Also die Lösug

x

lässt sich schreiben als

x = x 1 + x 2

mit

x 1 e

Kern A und

x 2 e

Kern(A) senkrecht bzw. Bild A transponiert.

Warum ist

x 2

die Projektion von

x

auf

x 2

? Woran erkenne ich das?

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09:58 Uhr, 27.12.2021

An der Definition.
de.wikiversity.org/wiki/Vektorraum/Projektion/Einf%C3%BChrung/Textabschnitt

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