Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Minorantenkriterium

Minorantenkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: abschätzen, Analysis, divergenz, Folgen und Reihen, Harmonische Reihe, Indexverschiebung, Konvergenz

ilovemathe aktiv_icon

15:04 Uhr, 16.01.2019

Ich weiß, dass die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}

divergiert.
Wenn ich nun die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2 (k + 1)}

erhalte, wieso kann ich daraus folgern, nach dem Minorantenkriterium, dass

12 (k + 1)

divergiert?

Das Minorantenkriterium ist doch wie folgt definiert :

Gegeben sei eine divergente reelle Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} d_{k}

. Wenn es ein

N \in I N

gibt, so dass ∣ak∣

\geq d_{k} \geq 0

für alle

k \geq N,

dann ist

\sum_{k = 1}^{\infty}

∣ak∣ divergent.

Durch Indexverschiebung und dem rausziehen von

\frac{1}{2}

erhalte ich

\frac{1}{2} \cdot \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k},

was bis auf das

\frac{1}{2}

äquivalent zu

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k}

ist wo ich auch den Index auf

k = 2

verschoben hab.

In unserem Falle wäre

d_{k}

ja die Reihe

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k}

. Und die Reihe

\sum_{k = 2} \frac{1}{2 (k + 1)}

wäre unser

a_{k}

aber die ist ja kleiner obwohl sie größer gleich sein müsste?

Per Def. müsste ja gelten

\frac{1}{2} \cdot \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k} \geq \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k} \geq 0

.

Damit gilt doch die Gleichung der Definition

a_{k} \geq d_{k} \geq 0

gar nicht denn

\frac{1}{2} \cdot \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k}

ist doch

<

als

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k}

? Oder betrachte ich nur den Part hinter dem Summenzeichen und lasse die

\frac{1}{2}

weg? Dann würden

a_{k}

und

d_{k}

wenigstens gleich sein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

16:36 Uhr, 16.01.2019

Du hast hier eben NICHT das Minorantenkriterium benutzt, sondern die Aussage, dass, falls

\sum a_{k}

divergent ist, auch

\frac{1}{2} \cdot \sum a_{k}

divergent sein muss.

ilovemathe aktiv_icon

16:59 Uhr, 16.01.2019

Ja das ist mein Punkt. Die Musterlösung argumentiert aber nach obigem Schema was mMn halt falsch ist. Werde nochmla nachfragen müssen.

1455516

1455489

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?