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Mischungsaufgabe Gleichung

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Mischungsaufgabe

seirex1234 aktiv_icon

16:06 Uhr, 22.10.2021

Hallo, es geht um folgende Frage:

Mischt man 3 Liter Alkoholmischung A mit 5 Litern
einer verdünnteren Alkoholmischung

B,

so erhält
man 50%igen Methylalkohol.
Mischt man aber 3 Litern der ursprünglichen
Alkoholmischung

A 7

Liter der zweiten Mischung

B

hinzu, so erhält man eine 47%ige Mischung.
Wie viel % Methylalkohol enthielt die ursprüngliche
Mischung?

Wie gehe ich vor ?

meine bisherige Rechnung:

(8 \cdot \frac{50}{100}) + (10 \cdot \frac{47}{100}) = 18 \cdot (\frac{x}{100})

x = 48,33 %

Kann mir Jemand weiter helfen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

supporter aktiv_icon

16:27 Uhr, 22.10.2021

3 x + 5 y = 0.5 \cdot 8

3 x + 7 y = 0.47 \cdot 10

www.wolframalpha.com/input/?i=3x%2B5y%3D0.5*8+and+3x%2B7y%3D+0.47*10

seirex1234 aktiv_icon

16:39 Uhr, 22.10.2021

Vielen Dank für die Antwort.

Allerdings habe ich noch eine weitere Frage.
Was ist denn jetzt das Ergebnis der Aufgabe ?

Ich habe errechnet:

y = 0,35

und

x = 0,75

Was ist jetzt meine Lösung ?

MfG

Roman-22

23:13 Uhr, 22.10.2021

>

Ich habe errechnet:

y = 0,35

und

x = 0,75

richtig

>Was ist jetzt meine Lösung ?
Erkläre mal, welche Bedeutung haben denn

x

und

y

deiner Meinung nach?

seirex1234 aktiv_icon

10:20 Uhr, 23.10.2021

also

x

beschreibt die Grundmenge

(3

Liter) die bei beiden Gleichungen gleich ist.

Y

beschreibt letztendlich die konzentration der Lösung B.
Allerdings weiß ich nicht wie ich dies weiter Interpretieren soll um einen geeigneten Antwort Satz zu verfassen

Lg

Respon

10:34 Uhr, 23.10.2021

Schau dir nochmals das Gleichungssystem von supporter an.
Welche Bedeutung haben die Zahlenwerte

3, 5, 8,

nochmals

3, 7

und

10

.

Und welche Bedeutung haben dann

x, y, 0,5

und

0,47

seirex1234 aktiv_icon

12:02 Uhr, 23.10.2021

X

ist die Konzentration der Grundlösung

a \in %

und

y

die Konzentration der Lösung

b

. Da

x

in beiden Fällen

3 x

ist und sich die Lösung von

50 %

auf

47 %

verringert würde ich schätzen das A mehr Methylalkohol enthält als B.

3 + 5 = 8

3 \cdot 0,75 + 5 \cdot 0,35 = 4

3 + 7 = 10

3 \cdot 0,75 + 7 \cdot 0,35 = 4,7

Aber ich weiß echt nicht wie ich das alles in Relation setzen soll, brauche noch ein paar Ratschläge, von alleine komme ich nicht drauf, deshalb frage ich hier.

LG

Respon

12:07 Uhr, 23.10.2021

Aber die Lösung hast du ja bereits:
Die Lösung A enthält

75 %

Alkohol.
Die Lösung

B

enthält

35 %

Alkohol.

Denke vielleicht nochmals über den Grundbegriff von Mischungen nach.
Die Menge des "Reinstoffes" - hier reiner Alkohl - ist vor und nach der Mischung gleich. Das verwendet man um die Gleichungen aufzustellen.

Respon

12:28 Uhr, 23.10.2021

Oder etwas redundanter:
Sorte A hat eine vorerst unbekannte Konzentration, nennen wir sie

x

D . h

1 l

der Sorte A enthält

x l

reinen Alkohols.
Wir nehmen von

A 3 l \Rightarrow 3 \cdot x l

reinen Alkohols.

Sorte

B

hat eine vorerst unbekannte Konzentration, nennen wir sie

y

D . h

1 l

der Sorte

B

enthält

y l

reinen Alkohols.
Wir nehmen von

B 5 l \Rightarrow 5 \cdot y

reinen Alkohols

Wir haben nun in der Mischung

3 \cdot x + 5 \cdot y

reinen Alkohols.

Laut Angabe ist diese neue Mischung 50%-ig,

d . h

1 l

der neuen Mischung enthält

0,5 l

reinen Alkohols.
Da wir nun

3 l + 5 l

gemischt haben bekommen wir

8 l

.
Da

1 l

der neuen Mischung

0,5 l

reinen Alkohols enthlt, haben wir also

8 \cdot 0,5 l = 4 l

reinen Alkohols.

Da die Menge des reinen Alkohols vor und nach der Mischung sich nicht ändert

\Rightarrow

Vor der Mischung

3 \cdot x + 5 \cdot y

reiner Alkohol
Nach der Mischung

4 l

reiner Alkohol
Diese beiden Mengen sind gleich, also

3 \cdot x + 5 \cdot y = 4

Das gleiche Spiel laut Text nochmals für die zweite Gleichung.

seirex1234 aktiv_icon

14:44 Uhr, 26.10.2021

Okey,

Ich habe die Gleichung noch einmal aufgelöst und

y = 0,35

und

x = 0,75

raus bekommen.

1. Mischung:

3 \cdot 0,75 + 5 \cdot 0,35 = 4

2. Mischung:

3 \cdot 0,75 + 7 \cdot 0,35 = 4,7

Also hat die Mischung A einen Alkoholgehalt von

75 %

und Mischung

B

einen Alkoholgehalt von

35 %

.
Ist das richtig ?

Eine Weitere Frage habe ich noch:

Warum muss ich hier

0,5 \cdot 8

rechnen ? Mir ist bewusst das das die Gesamtmenge ist aber warum kann man nicht nur

3 x + 5 y = 50

schreiben ?

3x+5y=0.5⋅8

3x+7y=0.47⋅10

Ich bedanke mich für die Hilfe und die Geduld.

Roman-22

15:35 Uhr, 26.10.2021

> X

ist die Konzentration der Grundlösung a∈%
Nein!

x

IST Die Konzentration der Grundlösung. Punkt. Nix mit Prozent!
Man erhält ja

x = 0,75

und das ist gleichbedeutend mit

x = 75 %

. % ist ja nichts weiter als ein Faktor

\to

"* 0,01".

>

Also hat die Mischung A einen Alkoholgehalt von

75 %

und Mischung

B

einen Alkoholgehalt von

35 %

>

Ist das richtig ?
Ja. Wobei die Aufgabe nur die Angabe der

75 %

als Lösung verlangt.

>

Warum muss ich hier 0,5⋅8 rechnen ? Mir ist bewusst das das die Gesamtmenge ist aber warum kann man nicht nur

3 x + 5 y = 50

schreiben ?

Die Terme geben die Menge des jeweils enthaltenen reinen Alkohols an, von dem wir annehmen, dass er sich beim Mischen nicht verflüchtigt.

3 \cdot x

ist die Menge reinen Alkohols in den 3 Litern der ersten Lösung.

5 \cdot y

ist die Menge reinen Alkohols in den 5 Litern der zweiten Lösung.

8 \cdot 0,5

ist die Menge reinen Alkohols in der fertigen Mischung. Da man 3 Liter und 5 Liter zusammen schüttet, erhalten wir klarerweise 8 Liter Mischung. Und da diese Mischung laut Angabe 50-prozentig ist, enthält sie

8 \cdot 0,5

Liter reinen Alkohol.

Du kannst, wenn du unbedingt möchtest, die Gleichung ja auch mit Variablen, die Prozentwerte darstellen, aufstellen.
Das wäre dann für die erste Gleichung

3 \cdot \frac{x}{100} + 5 \cdot \frac{y}{100} = 8 \cdot \frac{50}{100}

oder einfacher

3 x + 5 y = 400

Das mag Geschmackssache sein, wobei ich den ursprünglichen Ansatz von supporter aber bevorzuge. Bei obigem Ansatz kommt letztlich eben

x = 75

raus und du musst wissen und dazu schreiben, dass die Konzentration nicht

75,

sondern natürlich

0,75 = 75 %

ist.

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