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Mischungsaufgabe; LGS

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Anwendungsaufgabe, Gaußalgorithmus, Lineares Gleichungssystem, Matrix, matriz, Mischungsaufgabe, Müsli

 
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DerLaborant

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18:45 Uhr, 20.02.2010

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Hallo Leute, folgende Aufgabe macht mir zu schaffen:

Müsli-Hersteller Z. hatte bisher eine Mischung verkauft, die aus
40% Weizenflocken, 35% Cornflakes, 15% Rosinen u. 10% Nüssen bestand.
Nach umfangreichen Verbrauchertests entschließt er sich, die Mischungsverhältnisse zu ändern: Die Anteile sollen in Zukunft 50%,20%,24%,6% betragen.
Von der alten Mischung sind noch 1000 kg vorhanden. Diese sollen durch Hinzufügen geeigneter Mengen zur neuen Geschmacksrichtung abgeändert werden.
Welches sind die Mindestmengen, die hinzugefügt werden müssen?

Die Aufgabe soll mithilfe eines Linearen Gleichungssystems gelöst werden.
Hab mir nun folgendes gedacht: a= Anteil "("in kg) Müsli, b=Anteil Cornflakes .. entsprechend c und d.

Gleichungssystem:
0,4a+0,35b+0,15c+0,1d=1
^0,5a+0,2b+0,24c+0,06d=1
^a+b+c+d=1000

Ist das Gleichungssystem soweit richtig?
Wäre nett wenn ihr mir auch erklären könntet, wie ich allgemein an solche Mischungsaufgaben rangehe.
Danke schonmal im Vorraus.
LG DerLaborant

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DK2ZA

DK2ZA aktiv_icon

19:54 Uhr, 20.02.2010

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Zu den vorhandenen 1000 kg Mischung kommen noch w kg Weizenflocken, c kg Cornflakes, r kg Rosinen und n kg Nüsse.

Die Gesamtmenge ist dann G=1000+w+c+r+n


Weizenflocken sollen 50% ausmachen:

400+w=0,5⋅G

G einsetzen und zusammenfassen liefert Gleichung 1:

w-c-r-n=200



Cornflakes sollen 20% ausmachen:

350+c=0,2⋅G

G einsetzen und zusammenfassen liefert Gleichung 2:

4⋅c-w-r-n=-750



Rosinen sollen 24% ausmachen:

150+r=0,24⋅G

G einsetzen und zusammenfassen liefert Gleichung 3:

0,76⋅r-0,24⋅w-0,24⋅c-0,24⋅n=90



Nüsse sollen 6% ausmachen:

100+n=0,06⋅G

G einsetzen und zusammenfassen liefert Gleichung 4:

0,94⋅n-0,06⋅w-0,06⋅r-0,06⋅c=-40


Dieses System von 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten ist nicht eindeutig lösbar.
Es führt auf

c=25⋅w-190

n=325⋅w-52

r=1225⋅w+42


Wir suchen die Mindestmengen. w wird also gerade so gewählt, dass weder n noch c negativ werden.

Dazu muss gelten:


25⋅w-190=0

w=475

Daraus ergeben sich die anderen Mengen:

c=0

n=5

r=270


Probe:

Weizenflocken: 400 kg +475 kg =875 kg

Cornflakes: 350 kg +0 kg =350 kg

Rosinen: 150 kg +270 kg =420 kg

Nüsse: 100 kg +5 kg =105 kg


Gesamtmenge: 1750 kg

Die verlangte Prozentsätze stimmen.



GRUSS, DK2ZA
DerLaborant

DerLaborant aktiv_icon

16:24 Uhr, 21.02.2010

Antworten
Danke für die Ausführliche der Aufgabe.
Nur mir ist nicht klar wie man am besten an diese Mischungsaufgaben rangeht.
Hat jemand ne Idee wie man da am besten rageht?
Antwort
DK2ZA

DK2ZA aktiv_icon

17:00 Uhr, 21.02.2010

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Ich versuche immer, von den gegebenen Prozentsätzen wegzukommen. Oben habe ich z.B. anstelle von 40% Weizenflocken lieber 400 kg Weizenflocken verwendet. Das scheint mir anschaulicher zu sein. Und dann betrachte ich eben den Ablauf des Mischvorganges und versuche dazu passende Gleichungen zu finden.

Viel Übung hilft ganz sicher. Passende Aufgaben findest du mit Hilfe von Google. "Mischungsaufgabe" bringt 3000 Treffer.


GRUSS, DK2ZA
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