Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Mit Cauchy-Produk Additionstheorem beweisen

Mit Cauchy-Produk Additionstheorem beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Additionstheorem, Cauchy Produkt

crazystudent aktiv_icon

17:14 Uhr, 10.06.2023

Beweisen Sie mit Hilfe des Cauchy-Produkts das folgenden Additionstheorem: für alle

x, y

∈

R

gilt

cos (x + y) = cos (x) cos (y)

−

sin (x) sin (y)

.

Bitte dazu eine Lösung damit ich mal sehen kann,wie das gelöst wird.Danke:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

07:23 Uhr, 11.06.2023

Na wende doch einfach die Cauchy-Produktformel auf die Potenzreihendarstellungen der vier trigonometrischen Terme an. Im ersten Produkt, dem der Kosinusterme ergibt das

\cos (x) \cdot \cos (y) = (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} y^{2 n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k)}! \cdot \frac{{(- 1)}^{n - k}}{(2 n - 2 k)!} x^{2 k} y^{2 n - 2 k}

.

Ähnlich dann für das Produkt der Sinusterme, natürlich dann mit der Sinus-Potenzreihe. Beim Umformen und Zusammenfassen kannst du ja immer ein Auge drauf werfen, was am Ende rauskommen muss, nämlich

\cos (x + y) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} {(x + y)}^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} \sum_{j = 0}^{2 n} (\begin{array}{c} 2 n \\ j \end{array}) x^{j} y^{2 n - j}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1572452

1572438

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?