Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Mit der Supremumsnorm die Stetigkeit zeigen

Mit der Supremumsnorm die Stetigkeit zeigen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Integration

Stetigkeit

Tags: Funktion, Integration, Komplex, Stetigkeit, supremumsnorm

JessieJ aktiv_icon

22:10 Uhr, 26.04.2015

Sei

C_{b} [0,1]

die Menge aller stetigen und komplexwertigen Funktionen auf

[0,1]

versehen mit der Supremumsnorm. Weiters sei

h : [- 1,1] \to C_{b} [0,1]

definiert durch

h (t) = (s \mapsto (\frac{s}{s + 2 + t}))

Zeigen Sie, dass

h

stetig ist, indem Sie

{| | h (t_{1}) - h (t_{2}) | |}_{\infty}

abschätzen.

Berechnen Sie auch

\int_{- 1}^{1} h (t) d t

.

Hinweis: Verwenden Sie

9.14

mit

T_{s} : C_{b} [0,1] \to ℂ, t (f) = f (s)

für jedes feste

s \in [0,1]

9.14

war eine Aufgabe, wo man zeigen musste, dass

C_{b} [a, b]

(die Menge aller stetigen, reellwertigen Funktionen auf

[a, b])

versehen mit der Norm

{| | f | |}_{1} = \int_{a}^{b} | f (t) | d t

versehen mit

| | . | |

kein Banachraum ist.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

{| | h (t_{1}) - h (t_{2}) | |}_{\infty} = {| | \frac{s}{s + 2 + t_{1}} - \frac{s}{s + 2 + t_{2}} | |}_{\infty} = {| | \frac{s \cdot (s + 2 + t_{2}) - s \cdot (s + 2 + t_{1})}{(s + 2 + t_{1}) \cdot (s + 2 + t_{2})} | |}_{\infty}

= {| | (\frac{s \cdot t_{2}}{4 s + s \cdot t_{2} + 2 t_{2} + s \cdot t_{1} + 2 t_{1} + t_{1} \cdot t_{2} + 4}) | |}_{\infty}

Wie kann ich das jetzt abschätzen, sodass die Stetigkeit folgt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen