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Mit ganzrationalen Funktionen modellieren
Schüler
Tags: Gauß Algorithmus, Gleichungssystem, Textaufgabe
 
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hallo Ich komm bei einer Aufgabe nicht weiter. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte. Aufgabe: Das nebenstehende Bild zeigt den Entwurf einer metallrutsche für Spielplätze. Das seitliche Profil der Rutsche soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modelliert werden und deren extrempunkte begrenzt sein. Entwerfen Sie eine Rutsche, deren Länge wie im Bild horizontal 4 Meter beträgt und deren Steigung an der steilsten stelle genau grad ist. Wie hoch ist die neue Rutsche? Ich habe jetzt den Punkt und die Sfrigung 1 beim Wendepunkt aber weiß jetzt nicht genau was machen muss.  |
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Die Steigungen am Start und Landeplatz sollen vermutlich Null sein - das ergibt schon mal zwei Gleichungen. Die Endpunkte nenen wir (0,H) für oben und (4,0) für unten Den Wendepunkt nennen wir (Wx,Wy) Die Steigung ist dort 1 Die zweite Ableitung ist an der Stelle Wx mit Null anzusetzen. Stelle nun die Gleichungen auf! |
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Wie hoch ist die neue Rutsche? ?? Die Höhe der Rutsche ist in der Zeichnung doch mit ebenfalls 4 Meter vorgegeben?? |
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Ahhh - ja! Dafür ist die Steigung am Ende nicht Null, sondern das Kind soll mit anständig Schmackes in den Sandhaufen geschossen werden. |
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Dafür ist die Steigung am Ende nicht Null, Doch! Ich interpretiere "modelliert werden und deren extrempunkte begrenzt sein." so, dass vor "deren" ein "durch" fehlt und die erste Ableitung an den Stellen 0 und 4 Null ist. Die Zeichnung kann auch nur die alte Rutsche, die ersetzt werden soll, darstellen (nur hätte diese Info vom Fragesteller kommen sollen), da bei 4 Meter Höhe und 4 Meter Länge das Rutschenprofil entweder aus einer simplen Geraden mit der Steigung 1 (bzw. besteht oder aber, wenn Anfangs- und Endpunkt waagrecht verlaufen sollen, dazwischen eine Steigung größer als 1 /bzw. kleiner als hätte. Wenn nun verlangt wäre, dass es sich bei dem Profil um eine ganzrationale Funktion dritten Grades handeln soll, dann ist die Aufgabe eindeutig lösbar und die neue Rutsche hätte nur mehr die Höhe Meter - also nix mehr mit dem ordentlichen Schmackes.  Da der Grad der gesuchten Polynomfunktion aber nicht vorgegeben ist, ist die Aufgabe wohl nicht eindeutig lösbar. |
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Mit einem 3.Grad kommt man jedenfalls nicht hin. Mit 4.Grades lässt sich einiges machen - etwas Hirn könnte man schon noch brauchen, um zu überlegen, ob es erst steil runter gehen soll und dann abflachen oder zuerst kein Schwung und dann gehts abwärts ... was wäre wohl die beliebtere Rutsche ? Man kann ja sein Modellierung unter den Aspekten - würde ich als Kind damit gerne rutschen ? und - würde ich als Elternteil mein Kind damit rutschen lasssen ? auf Sinnhaftigkeit prüfen. |
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Mit einem 3.Grad kommt man jedenfalls nicht hin. Doch, natürlich. Siehe die nachträglich meiner vorherigen Antwort hinzugefügte Grafik. Ich bin mir auch ziemlich sicher, dass die Aufgabe genau so gemeint ist und die Fragestellerin die Aufgabenstellung vielleicht nicht ganz vollständig und korrekt hier wiedergegeben hat. Über die Sinnhaftigkeit der vielen Aufgaben aus der "Praxis", die im Schulbereich kreiert werden, nachzudenken, das ist müßig. Da ist diese Rutsche bei Weitem nicht das Schlimmste, das ich hier in letzter Zeit gesehen habe. Mir gefällt die Aufgabe trotzdem, da es nicht so eine Steckbriefaufgabe ist und man erst (allgemein) die Wendestelle ermitteln und diese dann in die erste Ableitung einsetzen muss, um die nötige Gleichung zu erhalten. Mit 4.Grades lässt sich einiges machen - Nicht wirklich. So viele Freiheitsgrade hat man da nicht und die Aufgabe wird zu Fuß da schnell sehr unhandlich. Zum tatsächlichen Modellieren müsste man schon Polynome höheren Grades heranziehen, was dann den Einsatz von entsprechenden Rechenhilfen nahezu schon bedingt. Interessant wäre die Fragestellung, wie hoch die Rutsche maximal werden kann, vorausgesetzt es soll eine Polynomfunktion beliebigen Grades mit den gegebenen Nebenbedingungen sein. Ich würde da noch zusätzlich fordern, dass im Intervall außer an den Rändern keine weiteren Extremwerte auftreten und somit auch nur ein Wendepunkt in dem Intervall zu finden ist. Ich hätte jetzt ad hoc für diese Aufgabe keinen Lösungsansatz zu bieten, aber die Meter sollten überbietbar sein (mit einer Polynomfunktion 4. Grades gelang das allerdings nicht!). |
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Hält man sich an die Zeichnung und schaltet den gesunden Menschenverstand ab, reicht 3.Grad und die Höhe 4m klappt, wenn am Ende das Kind in den Sand gekickt wird. beim 4. Grad ist nix "unhandlich", sondern man bekommt alle Bedingungen (auch die Horizontale am Abschuss) in den Griff. |
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Hält man sich an die Zeichnung und schaltet den gesunden Menschenverstand ab, reicht 3.Grad und die Höhe klappt, wenn am Ende das Kind in den Sand gekickt wird. Sorry, aber die Gesundheit dieses Menschenverstands bezweifle ich stark! Du meinst also tatsächlich, dass du eine Polynomfunktion dritten Grades durch und legen kannst, die im Intervall nirgendwo steiler als (gleiche Skalierung in beiden Hauptrichtungen vorausgesetzt) verläuft? Die waagrechte Anfangs- und Endposition können wir da ruhig schon mal außer Acht lassen. Diese Funktion würde mich sehr interessieren!! Anm.: Ich gehe doch davon aus, dass du mir nicht als Polynomfunktion dritten Grades verkaufen möchtest ;-) Eine andere wird aber kaum auffindbar sein. Die Zeichnung stellt, wie schon gesagt, die alte Rutsche dar oder die Bemaßung der Höhe mit ist schlicht ein Fehler. Das jedefalls sagt mir mein gesunder Menschenverstand, wenn ich die abschließende Frage "Wie hoch ist die neue Rutsche?" lese. Meine erste provozierende Rückfrage diesbezüglich sollte die Fragestellerin ja anregen, darüber nachzudenken, aber das hat ihr unser kleiner Diskurs ja nun erspart. Der waagrechte Verlauf am Beginn und am Ende scheint mir zwingend vorgegeben. Deine Lösungsfunktion mit einem Polynom vom Grad 4 würde mich auch interessieren, denn dass man die Forderungen formal in den Griff bekommt ist eine Sache, die Lösbarkeit des Systems und dass keine weiteren Extremal- und Wendestellen (außer der einen)in auftreten, eine andere. Da ich mich nicht nur verbal plaudernd mit der Aufgabe auseinandersetze - im Anhang eine Lösung mit einer Polynomfunktion vierten Grades und der Wunschhöhe Meter (wie gesagt, mit 4. Grad konnte ich Meter nicht toppen) und ich nenne diese Koeffizienten unhandlich. Daneben eine zur y-Achse symmetrische Variante, bei der es aber bedingt durch die Symmetrie keinerlei Gestaltungsspielraum mehr gibt und die Höhe liegt unter jener bei der Kubik. Wie lautet also deine handlichere Funktion mit Modellierungsspielraum?   |
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Die optimale Funktion der Rutsche bei symmetrischer Auslegung wäre: Allerdings liegt dann bei Beginn und Ende ein Gefälle von 9° an und das maximale Gefälle wäre 117° --- Mit den Polynomen bekommen wir nicht hin, dass die Rutsche am unteren Ende nicht abschrägt - die Gesamtsteigung ist ja 1 und wenn man da etwas biegt, muss die maximale Steigung zwangsläufig größer 1 werden, was aber gegen die Vorgabe spricht. |
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Naja, ich weiß nicht, in welcher Weise dieser "optimal" sein soll, aber das hat ja ohnedies alles mit der Aufgabenstellung gar nichts mehr zu tun. Mit den Polynomen bekommen wir nicht hin, dass die Rutsche am unteren Ende nicht abschrägt - Aber ja doch! Ich hab die Lösung der gestellten Aufgabe doch bereits heute um Uhr präsentiert. die Gesamtsteigung ist ja 1 und wenn man da etwas biegt, muss die maximale Steigung zwangsläufig größer 1 werden, was aber gegen die Vorgabe spricht. Ja klar! Du gehst immer noch fälschlicherweise von der Höhe 4 Meter aus, oder? Ich dachte, es wäre bereits geklärt, dass das Unfug ist. Und das hat doch mit Polynomfunktionen versus andere Funktionen überhaupt nichts zu tun. KEINE Funktion kann das leisten. Die einzige Funktion, die unter der Vorgabe Anfangs und Endpunkt verbindet und nie einen Steigungswinkel größer als hat ist die lineare Funktion die aber die Forderung, dass der Verlauf im Anfangs- und Endpunkt waagrecht sein soll, nicht erfüllt. Nein, die Aufgabe ist schon so gemeint, wie ich sie um gelöst habe. Die Höhe in der Skizze sind entweder ein Fehler in der Angabe, oder aber im Text steht, dass die Rutsche derzeit so aussieht aber ersetzt werden soll, da sie zu steile Stellen aufweist und daher zu gefährlich ist (oder irgend so ein "Praxis"bezug). Was in der Angabe, so wie wir sie geliefert bekommt haben, fehlt, ist die Vorgabe, dass es sich um ein Polynom dritten Grades handeln soll. |
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ich weiß nicht, in welcher Weise dieser tanh "optimal" sein soll --- Im echten Leben werden solche Bahnen mit Exponentialfunktionen modelliert, um Ruckeffekte zu reduzieren. Polynome sind in einem Rollercoaster zu materialermüdend und am Ausgang müsste man für die Besucher kostenlos Schanzkrawatten ausgeben. Daher mein Vorschlag, der freilich nur noch marginal an die ursprüngliche Aufgabenstellung anknüpft. Das war auch eher dahingehend zu interpretieren, dass die Aufgabenstellung - und darüber sind wir uns ja wohl einig - nicht kosistent formuliert ist und ich den größtmöglichen Interpretationsspielraum erlaubt habe, der immerhin doch noch zu einem technisch verwertbaren Modell führt. |
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Nun denn, dann sei es so. Warum eine Exponentialfunktion (oder eine Kombi wie der als Profilkurve dann unter Berücksichtigung der Reibung auf eine Geschwindigkeitsfunktion führen soll, deren zweite Ableitung (das ist der Ruck) minimal ist, mag sich mir zumindest nicht sofort erschließen. Aber egal, denn eine 4 Meter Rutsche würde ich ohnedies nicht als Achterbahn bezeichnen ;-) Interessanterweise kommt bei Entwicklung neuer Achterbahnen ohnedies oft erschreckend wenig Mathe und Physik zur Anwendung und viel mehr Erfahrung und trial and error. Einem Bericht zufolge war das auch so bei der Entwicklung von "Verrückt", der höchsten Wasserrutsche der Welt in Kansas City. Da war auch ein renommierter Achterbahn-Konstrukteur federführend beteiligt und im Endeffekt sind dann die Sandsäcke während der Fahrt aus den Wagen geflogen und der ganze Bahnverlauf inklusive Auslaufhügel musste neu konzipiert werden so wie auch die Maximalanzahl der Personen pro Wagen. |
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Die Diskrepanz von Theorie und Praxis tritt nicht nur bei Achterbahnkonstrukten auf, sondern in allen Bereichen des Lebens. Ich erlaube mir exemplarisch auf das Bildungssystem verweisen ... |
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Die Diskrepanz von Theorie und Praxis tritt nicht nur bei Achterbahnkonstrukten auf, Eben! ich hab die Anmerkung auch nur vorgebracht, weil du behauptet hast: "Im echten Leben werden solche Bahnen mit Exponentialfunktionen modelliert,..." und ich das bezweifle. Ich erlaube mir exemplarisch auf das Bildungssystem verweisen . Arbeitet man dort auch mit Trial & Error oder verzichtet man der Einfachheit halber auf Trial? |
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Man evaluiert so exakt wie möglich die Reformaktivitätan, um daraus Schlüsse für die Zukunft zu ziehen und berücksichtigt die gewonnenen Erkenntnisse für weiterführende Entscheidungen- Beispiel: In den siebzigern wurde die verkürzte Mittelstufe in den Gymnasien erprobt; 7.-10. Klasse wurden in 3 statt 4 Schuljahren unterrichtet, um dien Schülern einen schnelleren Abschlusss zu ermöglichen. Der Versuch wurde nach wenigen Jahrgängen aufgegeben. Leider waren zur damaligen Zeit die Methoden des Qualitätsmanagements nicht ausgereift, so dass heute aus den Ergebnissen der Studie keine Erkenntnisse zu verwerten sind. Also startete man vor wenigen Jahren folgerichtig das G8, um zu überprüfen, an welchen Schwächen das Projekt damals gescheitert ist. |
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